Halle una ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y que corta el área mínima de cualquier cuadrante
Aplicando derivadas halle una ecuación que pasa por el punto (3,5), y que corta el área mínima del primer cuadrante.
A ver que tal esta este
2 Respuestas
Si la recta ha de pasar por el punto (3,5) y cortando a los ejes ha de formar un triángulo en el primer cuadrante, la pendiente ha de ser negativa.
La ecuación de la recta será de la forma y=5+m(x-3)
La base del triángulo rectángulo lo marca el punto de corte de esta recta con el eje OX
que llamaré x=a. Este punto se calcula haciendo y=0 en la ecuación de la recta
La altura del triángulo rectángulo lo marca el punto de corte de la recta conel eje de ordenadas(OY), que llamaré b(ordenada en el origen de la recta). Este punto se
Calcula haciendo x=0 en la ecuación de la recta.
Calculemos pues
$$\begin{align}&y=5+m(x-3)\\&\\&y=0\Rightarrow 0=5+mx-3m\\&\\&x=\frac{3m-5}{m}=a\\&\\&\\&x=0 \Rightarrow y=5-3m=b\\&\\&Area=\frac{1}{2}ab\\&\\&A(m)=\frac{1}{2}·\frac{3m-5}{m}·(5-3m)=\\&\\&- \frac{(3m-5)^2}{2m}\\&\\&A'(m)=0\\&\\&A'=\frac{-2(3m-5)·6m+2(3m-5)^2}{4m^2}=operando=\\&\\&\frac{-18m^2+50}{4m^2}=0\\&\\&m^2=\frac{50}{18}=\frac {25}{9}\\&m=-\frac{5}{3}=-1.66666666\\&\\&A'(-2)<0\\&A'(-1)>0\\&mínima\\&Recta:y=5-\frac{5}{3}(x-3)\\&\\&y=-\frac{5}{3}x+10\\&\\&\end{align}$$
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El problema no está muy claro, debe decirse que debe cortar a los ejes X eY en su parte positiva. Si se permite cortar por un eje negativo se puede llegar hasta un área -infinito
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Sea la recta
y=mx+b
el corte con el eje Y es
y=b
y el corte con el eje X es
0=mx+b
x=-b/m
El área será
A = -b^2 / m
Y por pasar por el punto (3,5) se cumple
5=3m+b
b=5-3m
Con lo cual el área es
A = -(5-3m)^2 / m = -5/m + 30 - 9m
que es una función de m, vamos a minimizarla
A'(m) = 5/m^2 - 9 = 0
5/m^2 = 9
m^2 = 5/9
m = +- sqrt(5) / 3
Por geometría dibujando el punto y las pendientes vemos que si tomamos la positiva no corta a los semiejes positivos, luego debe ser
m=- sqrt(5)/3
Además podemos ver que es un mínimo relativo por la segunda derivada
A''(m) = -10m^(-3)
que es positiva para - sqrt(5)/3 luego es un mínimo.
y como
b=5-3m
b = 5 - 3·sqrt(5) / 3 = 5 - sqrt(5)
Luego la recta es:
$$\begin{align}&y = \frac{\sqrt 5}{3}x+5-\sqrt 5\end{align}$$Y eso es todo.
Espera, he cometido un fallo intranscendente y otro muy gordo.
El área será:
A = -b^2 / (2m)
Se me había olvidado dividir entre 2 por ser un triángulo, aunque esto nos habría dado los mismos máximos y mínimos, no importaba.
Y por pasar por el punto (3,5) se cumple
5=3m+b
b=5-3m
Luego el área es:
A=-(5-3m)^2 / (2m) = -25/(2m) + 15 + (9/2)m
ahí es donde había cometido el gordo al no elevar 5 al cuadrado
$$\begin{align}&A'(m) = -\frac{25}{2m^2}+\frac 92=0\\&\\&-\frac{25}{m^2}+9=0\\&\\&\text{donde se ve que ese 2 del denominador daba lo mismo}\\&\\&-\frac{25}{m^2}=-9\\&\\&m^2=\frac {25}9\\&\\&m=\pm\frac 53\end{align}$$Y luego todo el razonamiento sobre que la que vale es -5/3 y que es un mínimo relativo es igual.
Entonces
m=-5/3
b= 5 - 3(-5/3) = 10
y = -(5/3)x + 10
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Y eso es todo, perdón por el fallo y gracias a Lucas que me ha hecho verlo.
Hola... Cuando derivaste A colocaste un 6m algo erróneo. Tenias que multiplicar por 2m, ya que ese es el denominador. - ANDERSON ROMERO FLOREZ