Calculo: Dada la función F(X)=x^2-3x y el punto P_0=(5,-5) hallar el punto sobre la gráfica de f(x) que está más cerca de P_0.

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Cada punto de la gráfica tendrá una distancia al punto (5,-5), entonces hay que calcular el punto que tiene menosr distancia. Pero la distancia es una función muy fea por tener una raíz cuadrada, entonces yo voy a trabajar con el cuadrado de la dsitancia que no tiene raíces cuadradas y tiene los mismos máximos y mínimos.

$$\begin{align}&\text{Un punto de la curva tendrá la forma}\\&\\&(x,\; x^2-3x)\\&\\&\text{y la distancia al cuadrado al punto (5,-5) será}\\&\\&dd(x) = (x-5)^2 + (x^2-3x+5)^2 =\\&\\&x^2-10x+25+x^4+9x^2+25-6x^3+10x^2-30x=\\&\\&x^4- 6x^3+20x^2-40x+50\\&\\&\text {¡Uff que fea!}\\&\\&\text{Derivamos e igualamos a 0}\\&\\&dd'(x)=4x^3-18x^2+40x-40=0\\&\\&2x^3-9x^2+20x-20=0\\&\\&\end{align}$$

Y aquí se han pasado completamente con semejante ecuación de tercer grado.  Pero resulta que tiene una solución sencilla

x=2

El cómo he llegado ahí es con el ordenador aunque existen otros métodos pero son un incordio.

Y una vez sabemos que 2 es una raíz dividimos el polinomio entre x-2 por Ruffini

2 -9 20 -20

2 4 -10 20

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2 -5 10 | 0

La factorización de la derivada es

dd'(x) = (x-2)(2x^2 - 5x +10)

y el segundo fator no tiene raíces ya que su discriminante es

25 - 4·2·10 = -65 <0

Luego el único punto crítico es x=2.

Sabemos que es el mínimo porque la mayor distancia caerá por los infinitos, pero no cuesta nada comprobar que la derivada segunda es positiva

dd'(x) =2x^3 - 9x^2 + 20x - 20

dd''(x) = 6x^2 - 18x + 20

dd''(2) = 24 - 36 + 20 = 8 >0

Luego es un mínimo.

Y el punto será

(x, x^2-3x)

(2, 2^2 - 3·2) = (2, 4-6) = (2, -2)

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Y eso es todo.