2.- Calcula las siguientes derivadas de funciones implícitas
Calcula las siguientes derivadas de funciones implícitas, suponiendo que “y” depende de “x”.
b)√(x+x^2 y+e^xy )=ln (x+y)
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Se deriva toda la expresión respecto de x y considerando "y" como función de x, poniendo y' allá donde haya que derivarla, y después de eso se despeja y'.
$$\begin{align}&\sqrt{x+x^2 y+e^xy}=ln (x+y)\\&\\&\frac{1+2xy+x^2y'+e^xy+e^xy'}{2 \sqrt{x+x^2 y+e^xy} }=\frac{1+y'}{x+y}\\&\\&\left(\frac{x^2+e^x}{2 \sqrt{x+x^2 y+e^xy}}-\frac{1}{x+y} \right)y'=\frac{1}{x+y}-\frac{1+2xy+e^xy}{2 \sqrt{x+x^2 y+e^xy}}\\&\\&\\&\\&\left(\frac{(x^2+e^x)(x+y)-2 \sqrt{x+x^2 y+e^xy}}{2(x+y)\sqrt{x+x^2 y+e^xy}} \right)y'=\\&\\&\frac{2 \sqrt{x+x^2 y+e^xy}-(x+y)(1+2xy+e^xy)}{2(x+y)\sqrt{x+x^2 y+e^xy}}\\&\\&\\&\\&\left((x^2+e^x)(x+y)-2 \sqrt{x+x^2 y+e^xy} \right)y'=\\&\\&2 \sqrt{x+x^2 y+e^xy}-(x+y)(1+2xy+e^xy)\\&\\&\\&\\&y'=\frac{2 \sqrt{x+x^2 y+e^xy}-(x+y)(1+2xy+e^xy)}{(x^2+e^x)(x+y)-2 \sqrt{x+x^2 y+e^xy}}\end{align}$$Y eso es todo.
