Como realizo este problema de probabilidad

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a) Hay que verificar que cumple los tres axiomas para una función de probabilidad.

$$\begin{align}&1) P_H(\Omega)=\frac{P(\Omega\cap\Omega)}{P(\Omega)}=\frac{P(\Omega}{P(\Omega)}=\frac 11 = 1\\&\\&2)P_H(A) = \frac{P(A\cap H)}{P(H)}\\&\\&\text{Como }(A \cap H)\subseteq H\implies 0\le P(A\cap H)\le P(H)\implies\\&\\&0\le \frac{P(A\cap H)}{P(H)}\le 1\\&\\&3) Si\;E_1,E_2,...E_n \text{ con conjuntos disjuntos}\\&\\&P_{H}(\cup_{i=1}^nE_i)=\frac{P((\cup_{i=1}^nE_i)\cap H)}{P(H)}=\\&\\&\frac{P(\cup_{i=1}^n(E_i\cap H)}{P(H)}=\\&\\&\text{Como estos conjuntos son disjuntos}\\&\\&=\frac{\sum_{i=1}^n P(E_i\cap H)}{P(H)}=\sum_{i=1}^n \frac{P(E_i\cap H)}{P(H)}=\sum_{i=1}^nP_{H}(E_i)\end{align}$$

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b)

$$\begin{align}&P_{H}{(\emptyset)}=\frac{P(\emptyset\cap H)}{P(H)}=\frac{{P(\emptyset)}}{P(H)}=\frac{0}{P(H)}=0\end{align}$$

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c)

Eso ya se demostró en el apartado a) en el tercer axioma de función de probabilidad.

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d)

Está mal el enunciado, querrán decir

$$\begin{align}&P_{H}(A^C)=1-P_{H}(A)\\&\\&P_{H}(A^C) = \frac{P(A^C\cap H)}{P(H)}=\\&\\&\frac{P(H-A)}{P(H)}=\frac{P(H-(A\cap H))}{P(H)}=\\&\\&\frac{P(H)-P(A\cap H)}{P(H)}=\\&\\&1-\frac{P(A\cap H)}{P(H)}=1-P_{H}(A)\end{align}$$

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e)

$$\begin{align}&P_{H}(A\cup B)=\frac{P((A\cup B)\cap H)}{P(H)}=\\&\\&\frac{P((A\cap H)\cup(B\cap H))}{P(H)}=\\&\\&\frac{P(A\cap H)+P(B\cap H)-P((A\cap H)\cap(B\cap H))}{P(H)}=\\&\\&\frac{P(A\cap H)}{P(H)}+\frac{P(B\cap H)}{P(H)}-\frac{P((A\cap H)\cap(B\cap H))}{P(H)}=\\&\\&P_{H}(A)+P_{H}(B)-\frac{P((A\cap B)\cap H))}{P(H)}= \\&\\&P_{H}(A)+P_{H}(B)-P_{H}(A\cap B)\end{align}$$

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas enendido.

Manda a Matemáticas las dos preguntas esas con las corridas de dos y tres elementos si quieres que las intente hacer. Aunque me parece que hoy ya se acabó.