Como resuelvo este ejercicio de probabilidad
Se tienen cuatro libros distintos de matemáticas, tres libros iguales de derecho, tres libros distintos de economía, tres libros iguales de administración y dos iguales de filosofía. Se desean acomodar en un estante donde caben quince libros.
Determine:
- ¿De Cuántas maneras se pueden acomodar los libros?
- ¿De cuantas maneras se pueden acomodar si queremos que los libros de derecho queden juntos
- ¿De cuántas maneras se pueden acomodar si se desean que queden acomodados por materia y los de filosofía al final?
2 Respuestas
1.
Son permutaciones con repetición de 15 elementos, donde se repiten los 3 Derecho,
3 Administración y 2 Filo:
$$\begin{align}&P_{15}^{3,3,2}=\frac{15!}{3!·3!·2!}=1,8162144·10^{10}\end{align}$$2. Si los de Derecho han de estar juntos, pueden empezar a colocarse en las posiciones
1,2,3,............,12
Los 12 libros restantes se ordenan, teniendo en cuenta los 3 repetidos de Administración y los 2 repetidos de Filo:
$$\begin{align}&P_{12}^{3,2}=\frac{12!}{3!2!}=39.916.800\\&Luego \ en \ total\\&12·P_{12}^{3,2}=479.001.600\end{align}$$3.
Si los de Filosofía van al final quedan 4 materias que se ordenan
$$\begin{align}&P_4=4!=24\\&\\&Los \ 4 \ diferentes \ de \ Mates, a \ su \ vez \ se \ ordenan\\&P_4\\&\\&Y \ los \ 3 \ diferentes \ Economía\\&P_3\\&\\&Luego:\\&P_4·P_4·P_3=24·24·6=3456\end{align}$$
En el 2.
son 13 posiciones, luego
13·39916800=518.918.400
Ahora si
·
·
El número total de libros es 4+3+3+3+2 = 15
Nos dicen que hay 3 iguales de derecho, 3 iguales de administración y 2 iguales de filosofía.
Las formas de ponerlos se llaman permutaciones de 15 elementos con repeticion de 3, 3 y 2
$$\begin{align}&P_{15}^{3,3,2}=\frac{15!}{3!·3!·2!}=\frac{15!}{6·6·2}=\\&\\&\frac{15!}{72}= 18.162.144.000\end{align}$$b)
Los tres libros de derecho podran ocupar las posiciones
1,2,3
2,3,4
3,4,5
...
13,14,15
Son 13 formas, y como los 3 libros son iguales no hay más formas debidas a ellos
Los libros restantes son 12 de los cuales están repetidos los 3 de administracióny los 2 de filosofía.
Las formas que pueden tomar estos 12 son
$$\begin{align}&P_{12}^{3,2}= \frac{12!}{3!·2!}=39916800\end{align}$$Y las formas totales son el producto de las dos cantidades
13 · 39916800 = 518.918.400
·
c)
Hay 5 materias y una va siempre al final luego son cuatro materias las que pueden permutarse
P(4) = 4! = 24
Y en cada materia con libros distintos se pueden permutar sus libros, pueden permutar los 3 de matemáticas y los 3 de economía.
Luego las formas totales son
24 · 3! · 3! = 24 · 6 · 6 = 864
.
Y eso es todo.
¡Gracias!
Impresionante.
Perdona, el último apartado está mal. Esto tiene de ventaja el que te respondamos varios que podemos ver los fallos. Decía que habiá 3 de matemáticas y son 4 en realidad
·
c)
Hay 5 materias y una va siempre al final luego son cuatro materias las que pueden permutarse
P(4) = 4! = 24
Y en cada materia con libros distintos se pueden permutar sus libros, pueden permutar los 4 de matemáticas y los 3 de economía.
Luego las formas totales son
24 · 4! · 3! = 24 · 24 · 6 = 3456