Resolver el siguiente problema de permutaciones
Supóngase que se sabe que la permutacion:
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)
3 1 2 7 8 9 6
En
$$\begin{align}&S_{9}\end{align}$$donde las imágenes de 5 y 4 se han perdido, es una permutación para ¿Cuáles deben ser dichas imágenes?
1 Respuesta
Amo Mo!
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Si es una permutación par tendrá un numero de ciclos par. Vamos a escribirla en notación de ciclos.
1-->2-->3-->1
(1, 2,3)
6-->9-->8--->7--->6
(6,9,8,7)
Luego lo que conocemos de la permutación es
(1,2,3)(6,9,8,7)
Esa es la notación bonita con ciclos disjuntos, pero tamién puede escribirse con ciclos no disjuntos
(1,2)(1,3) (6,9)(6,8)(6,7)
Y aquí es donde podemos contar que el número de ciclos es 5. La signatura de una permutación, es decir, si tiene un número de ciclos par o impar es independiente de los ciclos en que la descompongamos, luego lo que tenemos es impar, es necesario añadirle otro ciclo para que sea par, luego los dos elementos que quedan deben permutar entre sí para que haya un ciclo más
La imagen del 4 será el 5 y la imagen del 5 será el 4.
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Y eso es todo.
