Exprese cada una de las siguientes permutaciones de S_8 como productos de ciclos ajenos y después como producto de transposición

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Empezamos con la permutación alfa. Tomaremos el 1 lo escribiremos y anotaremos el lugar al que va

(1, 8,

Ahora miraremos dónde va el 8, vemos que va al 1, luego cerramos el ciclo y comenzamos otro con el 2

(1,8)(2,

El 2 va al 2, los ciclos de un elemento no se anotan lueog lo quitamos y empezamos uno con el 3, que vemos que va al 4

(1,8)(3,4,

y el 4 va al 6

(1,8)(3,4,6

Y el 6 va al 3, luego se termina este 3-ciclo. Y el siguiente lo abrimos con el 5 que es número mas bajo que aun no ha salido

(1,8)(3,4,6)(5,

Y el 5 va al 7 y el 7 al 5, luego anotamos el 7 y cerramos el ciclo

(1,8)(3,4,6)(5,7)

Y ya hemos mirado todos los números, esa es la permutación como producto de ciclos ajenos.

Y para ponerla como transposiciones puede que haya más formas pero la que uso yo es que cuando un ciclo tiene más de dos elementos pongo los 2-ciclos siguientes, primero con segundo, primero con tercero, primero con cuarto y así hasta primero con el último. Entonces la permutación de arriba queda

(1,8)(3,4)(3,6)(5,7)

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Y la permutación beta ya sin explicaciones es:

(1,4,3)(2,6)(5,7,8)

y como producto de 2-ciclos es

(1,4)(1,3)(2,6)(5,7)(5,8)

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Y la gamma

(1,2,5,6,8,7,4,3)

y como 2.ciclos

(1,2)(1,5)(1,6)(1,8)(1,7)(1,4)(1,3)

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Y eso es todo.