¿Se puede activar el paro un año más tarde?

Debes estar en situación legal de desempleo, es decir, debes acudir a la Oficina de Empleo de tu comunidad autónoma y "apuntarte al paro". Posteriormente debes ir a las oficinas del SEPE (antiguo INEM) para solicitar la prestación contributiva ("el paro"). Estas oficinas suelen "convivir" en los mismos locales físicos, pero tienen funciones diferentes. La autonómica gestiona las altas en desempleo y la estatal gestiona las prestaciones.

El plazo para solicitar las prestaciones es en general de 15 días hábiles desde el hecho causante (en tu caso "el despido") y si se pasa la fecha límite, se deja de cobrar el "exceso del retraso": en tu caso si tenías derecho a 2 años de desempleo y has dejado pasar un año, sólo te quedaría un año de desempleo. También puedes optar por no solicitar la prestación de desempleo y dejar ese derecho sin usar "durmiente" para el futuro, pero las cotizaciones que originaron el derecho van caducando cada 6 años.

Si vuelves a trabajar por cuenta ajena (ojo el régimen de autónomos es diferente) por al menos tres meses y el cese en ese trabajo NO es voluntario podrás acceder a la prestación de desempleo (en cuantía y duración) que tenías "durmiente". Como ves tienes que analizar si te interesa "perder" un año de prestación si lo solicitas ahora o esperar a poder solicitarlo tras un cese involuntario (despido) tras un nuevo trabajo.

El número de la SS no se pierde NUNCA, además la Sanidad es España es UNIVERSAL y GRATUITA para todos los españoles y residentes extranjeros "legales" independientemente de que hayan cotizado o no a lo largo de su vida.