¿Cuál es el procedimiento que permite expresar la raíz digital por medio de la función parte entera piso?

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Si llamamos a_0, a_1, a_2, ..., a_k a las cifras de n de derecha a izquierda tenemos

$$\begin{align}&n=a_0+10a_1+100a_2+...+  10^ka^k =\\&\\&a_0 + a_2+...+a_k+9a_1+99a_2+ ....+ (10^k-1)a_k=\\&\\&a_0 + a_2+...+a_k + 9\left(a_1+11a_2+...+\frac{10^k-1}{9}a_k\right)\\&\\&a_0 + a_2+...+a_k=n-  9\left(a_1+11a_2+...+\frac{10^k-1}{9}a_k\right)\end{align}$$

Esto quiere decir que la suma de las cifras de un número es ese número menos un mútiplo de 9

Si volvemos a sumar las cifras de la suma de las cifras lo que hacemos es volver a restar otro multiplo de 9 y cuantas veces repitamos esta operación quitamos algún múltiplo de 9 hasta que el resultado está comprendido entre 0 y 8 y esa es la raíz digital.

Luego por el algoritmo de la división la raíz digital es el resto que se obtiene al dividir el número n entre 9. Es el número n menos el muiltiplo de 9 anterior o igual a n.

Eso es lo que calculan con esa fórmula aunque ahora que la miro no es así. Noto que el número 9 no lo van a simplificar, es decir consideran la huella digital entre 1 y 9 en lugar de 0 y 8 como habiá pensado yo.

Luego rectifico, la raíz digital es el número n menos el múltiplo de 9 anterior a n (estrictamente anterior)

Y la forma de calcular ese múltiplo extrictamente anterior es dividir n-1 entre 9, tomar la función piso (o parte entera) y multiplicar por 9, eso nos da el m´´ultiplo anterior y restando este a n tenemos la raíz digital.

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Perdona la vacilación inicial, pero operaciones importántisimas de las matemáticas se basan en los restos de 0 a 8, lo de usar de 1 a 9 se ve cada cien años. Por eso en mi cabeza la raíz digital era un número de 0 a 8.

Profe gracias por su explicación pero creo que estoy un poco enredado

Podría retomar de nuevo el problema y explicarme de nuevo.

Yo he tratado de partir de la fórmula y tratar de ver como se construye esa función parte entera pero no encuentro con que elemento compararla y armar la definición de parte entera.

Es decir como tratar de retroceder pasos en sentido inverso y observar las estructuras primarias de dicha fórmula. (Pues se me ocurre eso)

Un abrazo de amistad desde colombia

$$\begin{align}& \end{align}$$

Yo creo que del primer cuadro de fórmulas te quedará claro que la suma de cifras de un número es ese número menos un múltiplo de 9.

Ejemplo:

234567

La suma de cifras es

2+3+4+5+6+7 = 27

que se obtuvo de

234567 - 9(6 + 11·5 + 111·4 + 1111·3 + 11111·2) =

234567 - 9(6 + 55 + 444 + 3333 + 22222) =

234567 - 9·26060 =

234567 - 234540 = 27

No es necesario que sepas esas operaciones que hecho, simplemente quédate con que:

La suma de cifras de un número es ese número menos un múltiplo de 9.

Si esa suma es un número comprendido entre 1 y 9 ya está. Si es un número de dos cifras o más se vuelven a sumar las cifras, con lo cual lo que hacemos es volver a restar otro múltiplo de 9.

En el ejemplo anterior la suma era 27, volvemos a sumarlas y queda 9, lo que hemos hecho esta vez es restar 18

Luego la uníon de los dos pasos ha restado

234540 + 18 = 234558

al numero inicial

234567 - 234558 = 9

En este caso yatenemos la huella digital, si el número siguiera siendo mayor de 9 se repetiria el proceso hasta obtener un numero entre 1 y 9.

Y en todos estos pasos se resta un múltiplo de 9, luego:

La huella de un número es ese número menos un múltiplo de 9.

¿Y cuál es ese múltiplo de 9 que hay que restarle? Pues obvio, si la huella digital tiene que quedar entre 1 y 9 hay que restarle el múltiplo de 9 inmediatamente inferior al número. Si le restaramos uno más grande nos daría un número negativo, y si le restaramos no el inmediatamente anterior sino uno más pequeño nos quedaría un número mayor que 9.

Con la función parte entera se puede calcular el múltiplo de 9 inmediatamente inferior a un número, esta es la fórmula:

$$\begin{align}&9 \bigg\lfloor \frac{n-1}{9}  \bigg\rfloor\end{align}$$

Si en vez de tomar n-1 tomáramos n podríamos obtener el mismo número, con lo cual la resta sería 0.

Si n es positivo, la parte entera de (n-1)/9 es el cociente entero de esa división luego:

$$\begin{align}&\bigg\lfloor \frac{n-1}{9}\bigg\rfloor\le \frac{n-1}{9}\lt \frac n9\implies\\&\\&9\bigg\lfloor \frac{n-1}{9}\bigg\rfloor\le9·\frac{n}{9}=n\implies\\&\\&9\bigg\lfloor \frac{n-1}{9}\bigg\rfloor\lt n\\&\\&\\&\\&\text{Pero si tomáramos el múltiplo siguiente de 9}\\&\\&9\left(\bigg\lfloor \frac{n-1}{9}\bigg\rfloor+1\right)=9\left(\bigg\lfloor \frac{n-1+9}{9}\bigg\rfloor\right)=\\&\\&9\left(\bigg\lfloor \frac{n+8}{9}\bigg\rfloor\right)\\&\\&\text{Si n es múltiplo de 9 tendremos}\\&=n\\&\\&\text{Si n no es múltiplo de 9 entonces entre}\\&\text{n+1 y n+8 hay un multiplo de 9 con lo cual}\\&\\&\bigg\lfloor \frac{n+8}{9}\bigg\rfloor \gt \frac n9\implies\\&\\&9\bigg\lfloor \frac{n+8}{9}\bigg\rfloor \gt n\\&\\&\text{En cualquiera de los dos casos podemos asegurar}\\&\\&n\le 9\bigg\lfloor \frac{n+8}{9}\bigg\rfloor\\&\\&\text{y uniendo las dos desigualdades obtenidas}\\&\\&9\bigg\lfloor \frac{n-1}{9}\bigg\rfloor\lt n \le 9\left(\bigg\lfloor \frac{n-1}{9}\bigg\rfloor+1\right)\\&\\&\text{luego }\\&\\&9\bigg\lfloor \frac{n-1}{9}\bigg\rfloor\\&\\&\text{es el múltiplo de 9 inmediatamente inferior a n}\\&\end{align}$$

Y es el que hay que restar a n para obtener la huella digital.

Y eso es todo.

¡Uff, que cuando decía huella digital quería decir raíz digital!

En este razonamiento puse un menor o igual en la segunda línea, pero es un menor estricto, así es como queda bien

$$\begin{align}&\bigg\lfloor \frac{n-1}{9}\bigg\rfloor\le \frac{n-1}{9}\lt \frac n9\implies\\&\\&9\bigg\lfloor \frac{n-1}{9}\bigg\rfloor\lt9·\frac{n}{9}=n\implies\\&\\&9\bigg\lfloor \frac{n-1}{9}\bigg\rfloor\lt n\end{align}$$

¡Gracias! 

Muchas gracias profe excelente respuesta

Un saludo desde Colombia

Hola profesor Valero

Un saludo

Profesor 

La función parte entera siempre me a llamado la atención

Me podría decir si esta demostración es apropiada o tiene falencias

Teorema: 2.3  (la fila en una matriz natural). Dada una matriz natural N= [aij]mxn natural, si se representa cualquiera de sus componentes aij por λ, entonces el número que representa la fila en la que se encuentra λ dentro de la matriz natural de k columnas, está  dada por [8]:                                           

i=[|(λ+k)/ k|]⟧         En caso que λ  no sea múltiplo de k

i= λ/ k                   En caso que λ es múltiplo de k 

Dem

Sabemos que

λ= k(i-1)+j             (definición de matriz natural)

λ-j= k(i-1)

 i= ((λ-j)/ k)+1

 i= (λ+k-j)/ k

 i= ((λ+k)/ k) - ( j/k)

por tanto

i+(j/ k)= (λ+k)/ k         

ahora

i< i+(j/k) ≤ i+1           (ya que i,j,k∈ N)

es de tener en cuenta que el máximo valor que puede tomar j es precisamente k, de donde podemos concluir que

i ≤ (λ+k)/k < i+1    

luego por definición de la función parte entera [7]  se tiene que

i=[|(λ+k)/k|]

y cuando  es múltiplo de k, se tiene que  j= k

Profesor la cuestión que me incomoda en esta demostración es la siguiente es valido en      i< i+(j/k) ≤ i+1   

Primero: El utilizar las leyes de la lógica, como es el caso del v (disyunción exclusiva)

 i≤ i+(j/k)   (en este caso  aparece el igual para crear la parte entera? esto si es valido????

Segundo: (j/k) el mínimo valor de j es 1 y k también puede ser 1 (osea una matriz de una sola columna), luego  (j/k) seria igual a 1, entonces i+1 ≤ i+1, Lo cual seria uno de los casos en los que la componente λ seria múltiplo de k ??? Hay estaríamos en la segunda parte o restricción del teorema????

i= λ/ k                   En caso que λ es múltiplo de k 

y por ello dicha desigualdad se haga estrictamente menor????

entonces    i+(j/k) ≤ i+1  se convertiría en i+(j/k) < i+1  (estrictamente menor)????

Teniendo en cuenta lo anterior atrevernos a decir 

i< i+(j/k) ≤ i+1  y posterior mente

i=[|(λ+k)/ k|]⟧         En caso que λ  no sea múltiplo de k

i= λ/ k                   En caso que λ es múltiplo de k

Profe me disculpa por hacerle una pregunta de estas características, pero sea vuelto muy importante para mi el conocer otros puntos de vista de esta demostración, muy agradecido Jhon Ramirez

Si λ es múltiplo de k está claro, los últimos elementos de cada fila son: k, 2k, 3k, ...

Y al dividir por k te da 1,2,3 coincidiendo este número con la fila done se encuentran

Si λ no es múltiplo de k veamos que la fila i tenemos los elementos

(i-1)k+1, (i-1)k+2, ...., (i-1)k+k-1, ik

El último no cuenta, ya se estudió antes

Luego al hacer la division entera λ/k tendremos cociente (i-1) y resto r tal que 1<=r<k

Por lo tanto la parte entera es i-1

Pero si a λ le sumamos k tendremos

[(λ+k)/k] =[λ/k + k/k] = [λ/k + 1] = [λ/k]+1 = i-1+1 = i

Que es la fila correcta donde está λ

Y eso es todo.

Por favor, las consultas distintas de la pregunta que se mandó inicialmente deben ir en otra pregunta nueva.

Por cierto, que la fila se calcula más fácilmente así

i = [(λ-1)/k] + 1

Con esa fórmula no hay que contemplar dos casos.