¿Cómo se (o identifico) que la raíz n de un numero es infinita no periódica, o sea irracional?

No sé hasta que punto necesitas la demostración, ya me dirás si la necesitas e intentaré hacerla. Es como la demostración de la raíz de 2 pero en genérico.

Y la conclusión es muy sencilla, toda raíz enésima de un número natural o es natural o es irracional. Es decir, que la raíz no te da un número exacto será irracional y tendrá un número infinito de decimales no periódicos.

Bueno lo demostraré aunque quizá pueda ser algo duro y la notación va a ser un poco confusa por no poder escribir subíndices.

Demostración.

Sea a el número y n el índice de la raíz.

Si no es entera, existe al menos un factor primo cuyo exponente no es múltiplo de n. Los factores primos que si tienen exponente múltiplo de n salen de la raíz como números enteros, nos quedamos con lo que no puede salir y vamos a demostrar que eso es irracional. Sea

(P1^e1 · p2^e2 ··· pk^e)^(1/n)

La parte irreducible donde p1, p2,... pk son números primos y e1, e2, ... ek exponentes naturales que cumplen 0 < ei < n para todos los subíndices 1 <= i <= k

Supongamos que es un número racional

(p1^e1 · p2^e2 ··· pk^ek)^(1/n) = r/s

habiendo elegido r y s de manera que sean primos entre sí. Elevamos a la n

p1^(e1) · p2^(e2) ··· pk^(ek) = r^n / s^n

s^n·p1^(e1)·p2^(e2)···pk^(ek) = r^n

Tomemos p1

Se cumple que r^n es múltiplo de p1, entonces r^n tiene el factor primo p1. Como r^n tiene todos los factores primos con exponente n o múltiplo de n, tenemos

r^n = p1^(c1·n) · t1

con t1 primo con p1 ya que si

1) t1 = p1^(n·d1) · u1

con u1 primo p1 hacemos

r^n = p1[(c1+d1)n] · u1

y ya tenemos r^n como producto de p1 elevado a algo por algo primo con p

2) t1 = p1^m · x con 0 < m < n

Es absurdo ya que tendríamos una potencia de n a la izquierda y a la derecha no.

Luego resumiendo

r^n = p1^(c1·n) · t1

con t1 primo con p1

Y al no tener t1 el factor primo p1, todos sus factores primos deben tener exponente múltiplo de n y t1 será potencia de n, luego t1= u1^n

r^n = p1^(c1·n) · u1^n

extraemos raíz enésima

r = p1^c1 · u1

Luego r es múltiplo de p1

Volvemos a es ta igualdad

s^n·p1^(e1)·p2^(e2)···pk^(ek) = r^n

Como acabamos de descubrir que r es múltiplo de p1 se queda en algo así

s^N · p1^(e1) · p2^(e^2) · pk^(ek) = p1^(c1·n) · u1^n

Con u1 primo con p1

Como la factorización en primos es única el exponente de p1 debe ser igual en ambos lados.

A la vista, en el lado izquierdo el exponente es 0 < e1 < n y en el derecho es c1·n, la igualdad es imposible, luego en s^n debe haber factor primo p1. Y como vimos antes, si s^n es múltiplo de p1 entonces s es múltiplo de p1

Y ya llegamos al final, hemos encontrado que r y s son múltiplos de p1, pero eso es absurdo porque habíamos supuesto que eran primos entre sí. Luego la suposición de que una raíz que no sea exacta pueda ser racional es falsa.

Los tres ejemplos que ponías son irracionales. Recuerda, la raíz enésima de un número natural o es natural o es irracional.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si so es así pregúntame, y ya está bien no olvides puntuar par apoder hacer más preguntas.