¿Es legal tener una web de videos de youtube?

Es legal si has pagado los derechos reservados. Si no los has pagado te pueden eliminar los vídeos, así que ten cuidado por que creo que revisan solo los fines de semana, los pueden eliminar para el lunes de la sig. semana

Es legal y el código que ofrece youtube es precisamente para eso. Cuando un vídeo no puede ser distribuido en ese tipo de plataformas es el propio youtube el que se encarga de bloquearlo en los reproductores incrustrados. Sale un error en un fondo de "interferencias" como en las teles antiguas.

Toda la responsabilidad recae en youtube (y youtube responsabilizará al que lo haya subido que para eso tiene una página de términos de uso), tanto si el vídeo es de contenido ilegal como si se hace un uso fraudulento.

Estás libre de culpas por poner vídeos de youtube así que adelante con tu web.