Demostrar que el lado de un decagono regular inscripto en una circunferencia es la sección áurea del radio

Dos cantidades están en proporción áurea (o sección áurea) cuando al dividir una de la otra da el número áureo, que se representa con la letra griega phi).

Para demostrar esto utilizaré una relación conocida y es que el cos36=phi/2

También necesitaré la fórmula trigonométrica del ángulo mitad.

Vamos  allà:

$$\begin{align}&Número \ áureo\\&\phi=\frac{1+\sqrt 5}{2}\\&\\&cos36º=\frac{\phi}{2}\\&\\&\sin(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}\\&\\&\\&En \ el \ triangulo \ rayado:\\&\\&sin18º=\frac{l/2}{r} \Longrightarrow \frac{r}{l}=\frac{1}{2sin18º}\\&\\&sin18º=\sin(\frac{36º}{2})=\sqrt{\frac{1-cos36}{2}}=\sqrt{\frac{1- \frac{\phi}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2- \phi}{4}}=\frac{1}{2} \sqrt{2- \phi}\\&\\&\sqrt{2- \phi}=\sqrt{2-\frac{1+\sqrt 5}{2}}=\sqrt{\frac{3- \sqrt 5} {2}}=\frac{1}{\sqrt 2} \sqrt{3- \sqrt 5}\\&\\&Separando \ raíces:\\&\sqrt{{3- \sqrt 5} }=\sqrt x -\sqrt y \Rightarrow elevando \ al \ cuadrado\\&\\&3-\sqrt 5=x+y-2 \sqrt x \sqrt y \Longrightarrow Igualando \ partes \ enteras  \ y \ radicales:\\&3=x+y\\&\sqrt 5=2 \sqrt x \sqrt y \Rightarrow 5=4xy\\&Resolviendo \ el \ sistema\\&y=3-x\\&5=4x(3-x) \Rightarrow 4x^2-12x+5=0 \Rightarrow\\&x=\frac{5}{2}\\&y= \frac{1}{2}\\&\\&\Longrightarrow\\&sin18º=\frac{1}{2} \sqrt{2- \phi}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt 2}(\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{ \frac{1}{2}})=\frac{1}{4}(\sqrt 5 -1)\\&\\&Luego:\\&\\&\frac{r}{l}=\frac{1}{2 \sin 18º}=\frac{1}{2 \frac{1}{4}(\sqrt 5 -1)}=\frac{2}{\sqrt 5 -1}=Racionalizando\\&\\&\frac{2}{\sqrt 5 -1}·\frac{ \sqrt 5 +1}{\sqrt 5 +1}=\frac{2(\sqrt 5 +1)}{5-1}=\frac{\sqrt 5 +1}{2}=\phi\\&\\&c.q.d º (como \ queríamos \ demostar)\\&\\&\end{align}$$

Faltaría demostrar el valor del cos36º (pero lo puedes comprobar con la calculadora)