Calculo integral resolver la siguiente integral indefinida paso a paso

La 1ª parte se hace con un cambio de variable (cosx=t)

Y la segunda es inmediata:

$$\begin{align}&\int sec(x)tan(x)dx= \int \frac{1}{cosx}· \frac{sinx}{cosx}dx=\int \frac{sinx}{\cos^2x}dx=\\&\\&cosx=t \Rightarrow-sinxdx=dt\\&\\&=\int t^-2(-dt)=-\frac{t^{-2+1}}{-2+1}=-\frac{t^{-1}}{-1}=\frac{1}{t}=\frac{1}{cosx}\\&\\&\int sec^2x dx=\int \frac{1}{\cos^2x}dx=tanx\\&\\&I=\frac{1}{cosx}+tanx+C\end{align}$$

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¡Hola Oscar!

Ambas son integrales inmediatas, si tomas una tabla que las tenga todas salen. Además la segunda sería bastante difícil de calcular si no sabes la integral inmediata. Si acaso resolvemos la primera que es fácil mediante cambio de variable.

$$\begin{align}&\int (sec\,x·tg\,x+sec^2x)dx=\\&\\&\int sec\,x·tg\,x\;dx+\int sec^2x\;dx=\\&\\&\int \frac{1}{\cos x}·\frac{sen\,x}{\cos x}\;dx+tg\,x+C=\\&\\&\int \frac{sen\,x}{\cos^2 x}\;dx+tg\,x+C=\\&\\&t=-\cos x\\&dt =senxdx\\&\\&\int \frac{dt}{t^2}+tg\,x+C=\\&\\&-\frac 1t+tg\,x+C=\\&\\&\frac{1}{\cos x}+ tg\,x+C =\\&\\&sec\,x+tgx + C\end{align}$$

Lo cual confirma la integral directa que te decía, pero por si acaso no se podía aplicar.

Saludos.

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