¿Cómo resolver Problema numérico secundaria?

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¡Hola Lucas!

Si 30·a^2·b y 7·a·b son ambos cuadrados perfectos, halla el valor entero más pequeño

De entre los valores de a y b tales que a divide a b

Si 30·a^2·b es cuadrado perfecto debe serlo 30b

30=2·3·5  libre de cuadrados

luego b debe ser

b= 30 k^2

Ahora debe ser cuadrado perfecto 7ab

Entonces a o b deben ser multiplos de 7. Como "a" divide a "b" mejor que sea b el que lo tenga solo, ya que si lo tuviera a lo tendria también b habríamos conseguido que a fuera más grande.

Luego b debe ser múltipló de 7, como

b=30k^2 pongamos el 7 dentro de la k entonces será

b = 30·7^2·c^2

Pero vemos que no se puede evitar que a sea múltiplo de 7 ya que si no 7ab no será cuadadrado perfecto, luego

a=7n

Recapitulamos

7ab = 7·7n·30·7^2·c^2

30a^2b = 30·(7n)^2·30·7^2·c^2 = 30^2 · 7^2 · n^2 · c^2

Este segundo es cuadrado perfecto,  en 7ab haremos n=30

7ab = 7^4 · 30^2· c^2

Como a=7n y hemos hecho n= 30 tenemos

a=210

Y tenemos

b=30·7^2·c^2 = 210·7·c^2

No hace falta que c sea un número distinto de 1 porque tal como están ya se cumple que a divide a b.

Luego los números son:

a= 210

b= 1470

Vamos a comprobarlo numéricamente
30·210^2·1470 = 1944810000  = 44100^2

7·210·1470 =2160900 = 1470^2

b/a = 7

Luego lo cumple.

Sobre que son los menores números yo lo he hecho añadiendo a los números el mínimo imprescindible para que cumpliesen las condiciones, creo que no los hay más pequeños.

Saludos.

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