Hallar la solución general de la ecuación diferencial parcial...

$$\begin{align}& \end{align}$$

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¡Hola Zankass!

Yo esto no lo sé hacer.

Por analogía con algún ejemplo que he visto:

$$\begin{align}&yu_x-xu_y=xyu^2\\&\\&\frac{dx}{d\tau}=y,\quad \frac{dy}{d\tau}=-x,\quad \frac {du}{d\tau}=xyu^2\\&\\&\text{de las dos primeras tenemos}\\&\\&\frac{dx}{y}=-\frac{dy}{x}\\&\\&xdx=-ydy\\&\\&\frac {x^2}2=-\frac{y^2}{2}+C\\&\\&x^2=-y^2+C_1\\&\\&C_1=x^2+y^2\\&\\&\text{de la primera y tercera}\\&\\&dx=\frac{du}{xu^2}\\&\\&xdx=\frac{du}{u^2}\\&\\&\frac {x^2}2=-\frac 1u+C_2\\&\\&C_2=\frac {x^2}{2}+\frac 1u\end{align}$$

Y el resto de cosas endemoniadas que hacen no lo sé, necesitaría un sitio que lo expliquen fácil y no lo encuentro.  Si te sirve de algo lo que hice bien venido sea.

Si acaso te puedo decir que x=y=u  se debe traducir en

u(t,t)=t

Saludos.

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¿Pero  qué significado tiene lo de x=y=u?

Si te dan eso ya te han dado la respuesta, no necesitas calcular nada. Se supone que te tienen que dar alguna condición que te permita elegir entre las infinitas soluciones, pero no que te den ya la solución. Revisa el enunciado.

Saludos.

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Vamos a ver qué hago.

$$\begin{align}&\text{Habíamos obtenido}\\&\\&C_1=x^2+y^2\\&\\&C_2=\frac{x^2}{2}+\frac 1u\implies\\&\\&\frac 1u= C_2 -\frac{x^2}{2}= \frac{2C_2-x^2}{2}\implies\\&\\&u=\frac{2}{C_2-x^2}\\&\\&\text{ya que la constante de iontegración se puede}\\&\text{acomodar a nuestro gusto}\\&C_2 \text{ es } C_1 \text{ por algo}\\&\\&u=\frac{2}{C_3(x^2+y^2)-x^2}\\&\\&\text{Haciendo }x=y=u\\&\\&x=\frac{2}{2C_3x^2-x^2}\\&\\&2C_3x^3-x^3=2\\&\\&C_3=\frac{2+x^3}{2x^3}\\&\\&u=\frac{2}{\frac{2+x^3}{x^3}(x^2+y^2)-x^2}=\\&\\&\frac{2x^3}{(2+x^3)(x^2+y^2)-x^5}=\\&\\&\frac{2x^3}{2x^2+2y^2+x^3y^2}\\&\\&\\&\end{align}$$

Si fuera eso sería un premio porque no tenía ni idea.  NO le hagas mucho caso salvo que tu veas que está bien.

Saludos

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Además ya he comprobado que esa respuesta está mal, me equivoqué en algo.