¿Cómo puedo resolver este problema de física de sistemas de referencia inercial y no inercial?
*Toda magnitud vectorial indicada es considerada vector, a excepción de aquellas delimitadas de esta forma ||, en cuyo caso me refiero a su módulo.*
Un sistema de referencia no inercial O' rota con la Tierra . O' rota respecto a nuestro sistema de referencia inercial O situado en el centro terrrestre con velocidad angular constante |ω|=7,292x10^-5 s^-1. Los orígenes de coordenadas de ambos sistemas son idénticos. La relación entre la aceleración a de un cuerpo medida desde el sistema inercial O y la aceleración a' desde un SRNI que rota a velocidad angular ω constante es:
a = a'+ 2ωxv' + ωx(ωxr) ,
(ac. De Coriolis) (ac. Centrípeta)
Donde v' es la velocidad del cuerpo medida desde el SRNI, ω es el vector velocidad angular con el que O' rota respecto a O y r es el vector posición del objeto (como el origen de coordenadas de O y O' es el mismo, no hay necesidad de distinguir entre r y r').
Todo cuerpo en presencia de un campo gravitatorio sufre una aceleración g. En el caso de un cuerpo que sufre la gravedad terrestre, la magnitud de esta aceleración |g|=9,807m/s^2 y apunta hacia el centro de la Tierra. Ahora bien, esta es la aceleración vista desde un SRI.
a)Calcular la aceleración g' vista desde desde O' que sufre un cuerpo en reposo situado sobre la Tierra, en función de la latitud Φ. (Creo que aquí he de aclarar que Φ=π/2-θ, donde θ es la coordenada esférica).
b)¿Cómo de grande es la corrección que sufre g, |g'-g|, respecto a su módulo |g|? Discute si en general habrá que tener en cuenta esta corrección o no.
c)¿Hacia dónde apunta g'?
d)Comparar la magnitud de g' en el ecuador (Φ=0) y en los polos (Φ=±π/2).
Sé que es un coñazo, pero no se me ocurre ni por dónde empezar, pues siempre me faltan datos.
2 Respuestas
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¡Hola Marcos!
Yo no sé tanto de Física, simplemente trataré de resolver el problema de acuerdo a la fórmula que has dado
g = g' + 2ωxv' + ωx(ωxr)
Sabemos que g es el vector que apunta al centro de la tierra y su módulo es 9.8 m/s^2, luego tomando el punto de modo que tenga 0 en la coordenada x será
g=9.8m/s^2·(0, -cosΦ, -senΦ)
w es un vector vertical hacia arriba por la regla del sacacorchos
w = 7.292x10^(-)5s^(-1)·(0, 0, 1)
V tal como hemos elegido el punto es paralela eje X con sentido negativo. Y su módulo se calcula tal como hicimos en el otro ejercicio
v = wr(-1,0,0) =
donde r=R·cosΦ
= 7.292x10^-5 s^-1 · 6.37x10^6 m · cosΦ(-1, 0, 0) =
464.5004 m/s·(-1, 0, 0)
Y r como vector es r=6.37x10^6 m · cosΦ·(0,1,0)
Y ahora habría que calcular los productos vectoriales. En la fórmula has puesto v' pero es v. Para calcular wxv vamos a poner solo los vectores unitarios, luego ya multiplicaremos por los módulos
| i j k |
| 0 0 1 | = 0i - j + 0k
|-1 0 0 |
Luego
wxv = 7.292x10^(-)5s^(-1) · 464.5004 m/s · (0, -1, 0) =
0.0338736917m/s^2·(0, -1, 0)
Ahora toca calcular wxr de nuevo nos olvidamos al principio del módulo de los vectores
| i j k |
|0 0 1 | = -i
|0 1 0 |
luego
wxr = 7.292x10^(-)5s^(-1) · 6.37x10^6 m · cosΦ·(-1,0,0) =
464.5004m/s·(-1,0,0)
Y finalmente el producto vectorial wx(wxr), como todas las veces calculamos primero con los vectores unitarios
| i j k |
|0 0 1 | = -j
|-1 0 0 |
luego
wx(wxr) = 7.292x10^(-)5s^(-1) · 464.5004m/s (0, -1, 0) =
0.0338713697m/s^2(0,-1,0)
Pues vaya trabajo mas tonto, los dos vectores son igulales
wxv = wx(wxr)
deberíamos habernos dado cuenta que v = wxr
Volvemos a la fórmula inicial que corrigiendo una comilla que sobraba es
g = g' + 2ωxv + ωx(ωxr) = g' + 3wxv
vamos a despejar ya g'
g' = g - 3ωxv
y de acuerdo con los cáculos que hemos hecho es
g' = 9.8m/s^2·(0, -cosΦ, -senΦ) - 3 · 0.0338736917m/s^2·(0, -1, 0) =
(0, -9.8cosΦ +0.101621, -9.8senΦ)
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b)
La corrección realtiva que sufre es
|g'-g|/|g| = 0.101621 / 9.8 = 0.01037
Puesto en tanto por ciento sería 1.037%
Para cálculos que no van a tener ninguna importancia se puede despreciar, pero para cálculos donde la precisión sea necesaria no se puede despreciar.
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c)
g' Apunta casi hacia el centro de la tierra pero un poquito a la derecha si consideramos que el punto esté en el primer o cuarto cuadrante.
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d)
g' =(0, -9.8cosΦ +0.101621, -9.8senΦ)=
en el ecuador es con Φ=0
= (0, -9.8+0.101621, 0)=
(0, -9.698379, 0)
|g' ecuador| = 9.698379 m/s^2
Y en los polos será
g' = (0, 0.101621, -9.8)
|g' polo| = sqrt (0.101621^2 + 9.8^2) = 9.800526865 m/s^2
Es mayor en los polos.
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Perdón, se me olvido el cosΦ en muchos sitios. Voy a corregir solo eso, el resto es como ya lo hice.
v= 464.5004 · cosΦ m/s · (-1, 0, 0)
r= r=6.37x10^6 · cosΦ m · (0,1,0)
wxv = 0.0338736917 · cosΦ m/s^2 · (0, -1, 0)
wxr = 464.5004 · cosΦ · m/s·(-1,0,0)
wx(wxr) = 0.0338736917 · cosΦ m/s^2 · (0, -1, 0)
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g' = 9.8m/s^2·(0, -cosΦ, -senΦ) - 3 · 0.0338736917 · cosΦ m/s^2·(0, -1, 0) =
(0, (-9.8+0.101621)cosΦ, -9.8senΦ) m/s^2=
(0, -9.698379 cosΦ, 9.8senΦ) m/s^2
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b)
La corrección relativa que sufre es
|g'-g|/|g| = 0.101621cosΦ / 9.8 = 0.01037cosΦ
Puesto en tanto por ciento sería 1.037cosΦ %
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d)
Ahora es tal fácil que la calculo directamente
|g' ecuador|= 9.698379 m/s^2
|g' polos| = 9.8 m/s^2
Y eso es todo, perdona por los fallos, espero que lo hayas entendido.
Saludos.
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Ya entregué el trabajo, igualmente gracias por ayudarme, con la explicación de albertx no entendí casi nada y esta es mucho más comprensible. Ya por eso creo que te mereces una buena puntuación como mínimo, muchas gracias.
Un saludo,
Marcos
No se que es "coñazo" pero lo imagino ja. Ja. Ja. Ja.
Te paso algo sobre esto:
Primero te recomiendo tomar vista general de este articulo.
http://intercentres.edu.gva.es/iesleonardodavinci/Fisica/Campo_gravitatorio/Campo_gravitatorio06.htm
Ahora pensá que tu sistema inercial es un sistema "anclado" a las estrellas fijas ( Sol) y tu sistema no inercial es uno fijo a un punto P de la superficie terrestre.
Vos sabes que la leyes fundamentales de la dinámica ( fuerza = masa por aceleración) no son las mismas para sistemas inerciales y no inerciales salvo que ambos sistemas estén en mutuo reposo o moviéndose con MRU entre si...
Ahora si estas sobre la superficie de la tierra en un punto P y arrojas un cuerpo en caída libre cae según tu vertical ( plomada ) descendente hacia el centro de la Tierra. Esto es ciertamente claro pero no tan real.
Como el sistema fijo a P esta rotando a velocidad w ( vector rotación angular terrestre) aparece el efecto Coriolis y la llamada aceleración complementaria = 2 w x Vr . Con Vr = velocidad del cuerpo cayendo desde el punto P hacia el centro de la tierra libremente.
El plano que contiene a la vertical que pasa por P y al eje del mundo se llama plano meridiano... luego tu punto P se situara sobre este plano meridiano a una latitud fi .
Si Vr= velocidad de caida libre del cuerpo.= g t ........
El producto vectorial= 2 w x Vr = 2 w gt (cos fi)... sera un vector perpendicular al Plano Meridiano y dirigido hacia el Oeste...
En definitiva el movimiento de caída libre realmente ocurre sobre el cuerpo bajo la influencia de dos aceleraciones... la gravitatoria g ( dirección vertical contenida sobre el plano meridiano) + la inercial complementaria = 2 w g (cos fi) ( dirección perpendicular al Plano meridiano). Si abandonas entonces el cuerpo en caída libre en un punto P situado a una latitud conocida fi.. desarrollando por Coriolis es... Trayectoria( función del tiempo ) = 1/3 wg(t)3 cos fi... + espacio recorrido hacia el centro de la Tierra por la aceleración gravitatoria =½ g (t)2... o sea un trayecto vertical ( a plomada) + un trayecto horizontal ( hacia el Este).
Te paso la fórmula definitiva para calcular la desviación ( hacia el Este) en función de la altura z de la caída ; ( y de la latitud fi).
X = (2/3) w z (cos fi) (2z/g) 1/2
Es interesante saber que varias veces se ha verificado esta relación ( desde la primera mitad del siglo XIX) y en distintas latitudes obteniéndose siempre resultados que la confirman ampliamente.
. Luego la aceleración de inercia complementaria aparece como un vector dirigido hacia el Este
La aceleracion complementaria en el ecuador ..fi=0 ....resulta =2 w gt ( màxima).
En los polos.. resulta nula.