Duda sobre número finito de subgrupos...álgebra abstracta!

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¡Hola Zankass!

Eso es falso.

Tomemos los subgrupos generados por cada elemento individualmente

C_x = <x> = {x^i | i ∈ Z} para todo x∈G

Como x = x^1 ==> x∈C_x  ==> unión de los C_x = G

Supongamos que para dos elementos los dos subgrupos son iguales:

C_x = C_y

Entonces x∈C_y y y∈C_x, luego uno debe poder ponerse como potencia del otro y viceversa, existirán m, n ∈ Z tales que

x=y^m

y=x^n

luego

x=(x^n)^m

x = x^(nm)

x^(-1)·x = x^(-1) · x^(nm)

1 = x^(nm-1)

Tomamos p=|nm-1|

Si p=nm-1 ==> x^p = 1 como ya vimos

Si p=-(nm-1) ==> x^p = 1^(-1) = 1

Luego x^p = 1

Dado un exponente cualquiera s∈Z por el algoritmo de la división existirá un cociente c∈Z y un resto 0 <= r < p tal que

s = cp + r

Con lo cual

x^s = x^[cp+r] =

x ^[cp] · x^r =

[x^p]^c · x^r =

1^c · x^r =

1·x^r = x^r

resumiendo

x^s = x^r

luego

C_x incluido en {x^r | 0 <= r <p}

por lo tanto el cardinal es

|C_x| <= p

Si el número de subgrupos de G es finito habrá finitos C_x, y como cada uno es finito su unión también lo será. Y como esta unión es G entonces G será finito.

Luego no puede darse lo que nos dicen.

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