Como solucionar: Máximos, mínimos y gráfica de una función

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¡Hola Julio!

En la pregunta anterior casi me dejo la vida con la representación gráfica, aquí me pido el problema de máximos-mínimos. Bueno, en realidad siempre he hecho el ejercicio primero de cada una.

Máximos y mínimos de f(x) = x^2 - 4x + 7

Por ser una parábola con coeficiente director positivo ya sabemos que va a tener un mínimo, pero vamos a hacerlo por el método general sin dar nada por sabido.

Los máximos a mínimos relativos de una función derivable son aquellos en los que la derivada es 0. Un polinomio es derivable en todos los puntos. Luego derivaremos e igualaremos a cero.

f'(x) = 2x - 4 = 0

2x=4

x=2

Ahora para saber si es máximo o mínimo usaremos el criterio de la derivada segunda

f''(x) = 2

Por lo tanto el valor de la derivada segunda en el punto crítico es 2. Y cuando la derivada segunda es positiva en un punto crítico significa que es un mínimo relativo.

Y ahora calcularemos el valor de la función en él

f(2) = 2^2 - 4·2 +7 = 4 - 8 + 7 = 3

Luego la función tiene un mínimo en (2,3), no tiene otros máximos o mínimos.

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