Problema de calculo integral, métodos de integración e integrales definidas

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¡Hola Abi Herrera!

Es que este es el más difícil. Vamos a factorizar el denominador.

x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x -2) = x(x+2)(x-1)

Si no eres capaz de factorizar de cabeza como hice yo puedes aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado para obtener las raíces r y s y entonces la factorización es (x-r)(x-s)

Son tres raíces reales simples, el mejor de los casos.

$$\begin{align}&\frac{1}{x^3+x^2-2x}=\frac ax+\frac{b}{x+2}+\frac{c}{x-1}=\\&\\&\frac{a(x+2)(x-1)+bx(x-1)+cx(x+2)}{x(x+2)(x-1)}\\&\\&\text{Para raíces distintas lo mejor es dar valores}\\&\text{de las raíces a x e igualando los polinomios:}\\&a(x+2)(x-1)+bx(x-1)+cx(x+2)=1\\&\\&\text{Para x=0} \implies a·2·(-1)=1\implies a=-\frac 12\\&\\&\text{Para x=-2 }\implies b(-2)(-3)=1\implies b= \frac 16\\&\\&\text{Para x=1}\implies c·1·3=1 \implies c=\frac 13\\&\\&\int \frac{dx}{x^3+x^2-2x}=\\&\\&-\frac 12\int \frac{dx}{x}+\frac 16\int \frac{dx}{x+2}+\frac 13\int \frac {dx}{x-1}=\\&\\&-\frac{ln |x|}{2}+\frac{ln |x+2|}{6}+\frac {ln |x-1|}3+C\\&\\&------------------\\&\\&\int \frac{dx}{x^3+x^2-2x}=\left[-\frac{ln |x|}{2}+\frac{ln |x+2|}{6}+\frac {ln |x-1|}3\right]_2^3=\\&\\&-\frac{ln\,3}{2}+\frac{ln \,5}{6}+\frac {ln \,2}3 +\frac{ln\,2}{2}-\frac{ln \,4}{6}-\frac {ln \,1}3=\\&\\&-\frac{ln\,3}{2}+\frac{ln \,5}{6}+\frac {5\,ln \,2}6 -\frac{ln \,4}{6}=\\&\\&-\frac{3ln\,3}{6}+\frac{ln \,5}{6}+\frac {5\,ln \,2}6 -\frac{ln \,4}{6}=\\&\\&\frac 16 · ln\left(\frac{5·2^5}{3^3·4}\right)= \frac 16·ln\left(\frac {160}{108}  \right)=\frac 16 ln\left(\frac{40}{27}  \right)\\&\\&\\&\end{align}$$

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