¿Está bien la solución de la siguiente integral con un Teorema?
Problema.
$$\begin{align}&\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}dx=\frac{\pi}{2}\end{align}$$Solución.
De teoría de Ecuaciones Diferenciales (Laplace)
$$\begin{align}&\int_{0}^{\infty}e^{-xt}dt=\frac{1}{x}\end{align}$$Entonces
$$\begin{align}&\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}dx=\int_{0}^{\infty} \sin(x)\frac{1}{x}dx=\int_{0}^{\infty} \sin(x) \int_{0}^{\infty} e^{-xt}dtdx=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \sin(x)e^{-xt}dtdx\end{align}$$Al final metí la función sin(x), pues no depende de la variable t, entonces actúa como una constante. Luego, del Teorema de Fubini, podemos cambiar los diferenciales para integrar en otro orden (justificación al final).
La integral de en medio es conocida, también por transformación de Laplace. Entonces tenemos
$$\begin{align}&\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \sin(x)e^{-xt}dtdx=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \sin(x)e^{-xt}dxdt\end{align}$$Según el Teorema de Fubini, puedo cambiar el orden de integración siempre y cuando
$$\begin{align}&\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} |\sin(x)\;e^{-xt}|dxdt<\infty\end{align}$$No sé si esto último esté bien, pues en caso de estar bien, se podría demostrar de la siguiente manera:
Consideremos el producto cartesiano
$$\begin{align}&(0,a) \times (0, \infty)\end{align}$$Entonces
$$\begin{align}&\int_{0}^{a} \int_{0}^{\infty}|\sin(x)\;e^{-xt}|dtdx=\int_{0}^{a} |\sin(x)|\int_{0}^{\infty}\;e^{-xt}dtdx=\int_{0}^{a} |\sin(x)|\frac{1}{x}dx\leq\int_{0}^{a}x\frac{1}{x}dx =a\end{align}$$Es decir,
$$\begin{align}&\int_{0}^{a} \int_{0}^{\infty}|\sin(x)\;e^{-xt}|dtdx \leq a\end{align}$$Tomando límites
$$\begin{align}&\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}|\sin(x)\;e^{-xt}|dtdx \leq \infty\end{align}$$Y el Teorema queda bien aplicado.
Todo esto que he escrito son cosas que he visto he recopilado paso por paso en cada foro que he investigado pero no sé si esté bien donde escribí "No sé si esté bien". Espero puedan sacarme todas las dudas sobre esta integral conocida.
1 respuesta
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¡Hola Mario alejandro!
Ahora mismo no puedo comprobarlo, pero fíjate si te sirve este vídeo que es un poco caótico pero al final corrige los errores.
Saludos.
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Por otra parte con lo que has demostrado no podrías aplicar el teorema de Fubini, necesitas que la ntegral esté acotado por un número finito, no por el infinito.
Saludos.
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Aquí hay varias demostraciones algunas de las cuales ni entiendo. Por lo que veo aquí no se han tomado tantas molestias como tú para aplicar el teorema de Fubini.
De todas formas si que era necesario demostrar que se puede usar el teorema de Fubini para lo cual se veía que en cualquier dominio acotado la integral era finita por lo tanto en cualquier dominio acotado se podía intercambiar el orden. Como la integral impropia era un límite de integrales de dominios acotados, entonces era un límite de la integral con el orden cambiado.
