Una duda con ecuaciones diferenciales
Estoy estudiando ecuaciones diferenciales y me encontré con el siguiente ejercicio
Me piden encontrar la solución general y la solución sujeta a las condiciones
y(0)=-3
y´(0)=1
Me podrían ayudar con el!
2 Respuestas
;)
Hola Brenda!
Es una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, no homogénea, de 2º orden.
La solución general, por el principio de superposición, es la suma de la solución de la ED homogénea más una solución particular.
$$\begin{align}&y''+4y'+5y=35e^{-4x}\\&\\&y_G=y_H+y_p\\&\\&ED \ homogénea:\\&y''+4y'+5y=0\\&Ecuación \ característica:\\&m^2+4m+5=0\\&\\&m=\frac{-4 \pm \sqrt{16-20}}2=\frac{-4 \pm \sqrt {-4}}2=\frac{-4 \pm 2i}2=-2 \pm i\\&caso \ de\\&soluciones \ complejas \ conjugadas\\&\\&m=\alpha \pm \beta i\\&\\&y_H=e^{ \ \alpha x}(c_1cosx+c_2senx)\\&\\&y_H=e^{-2x}(C_1cosx+C-2senx)\\&\\&Calculamos \ C_1 \ y \ C_2 \ aplicando \ condiciones \ iniciales:\\&\\&y(0)=-3 \Rightarrow-3=C_1cos0+ C_2 sen0\\&-3=C_1\\&y'_H=-2e^{-2x}(C_1 cosx+C_2 senx)+e^{-2x}(-C_1senx+C_2 cosx)\\&y'(0)=1 \Rightarrow -2(C_1+0)+(0+C_2)\\&\\&1=-2C_1+C_2 \Rightarrow C_2=1+2 C_1=1-6=-5\\&\\&y_H=e^{-2x}(-3cosx-5senx)\\&\\&Solución \ particular \ tipo:\\&y_p=Ae^{-4x} \Rightarrow y'_p=-4Ae^{-4x} \Rightarrow y''p=16Ae^{-4x}\\&\\&sustituyendo\\&y''+4y'+5y=35e^{-4x}\\&\\&16Ae^{-4x}-16Ae^{-4x}+5Ae^{-4x}=35e^{-4x}\\&\\&5Ae^{-4x}=35e^{-4x}\\&A=7\\&\\&\\&y_G=y_H+y_p=e^{-2x}(-3cosx-5senx)+7e^{-4x}\end{align}$$Saludos
;)
;)
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¡Hola Brenda!
Primero calcularemos la solución generala de la homogénea, luego una particular de la ecuación completa y la suma de las dos será la solución general de la completa.
Para la solución general de la homogénea planteamos la ecuación característica
k^2 + 4k+ 5 = 0
$$\begin{align}&k=\frac{-4\pm \sqrt{16-20}}{2}=-2\pm i\\&\\&\text{son complejas, por tanto la solución general siendo}\\&k = \alpha\pm\beta i\\&es\\&y_{gh}=e^{\alpha x}(A\,\cos\, \beta x+B\,sen\,\beta x)\\&\\&y_{gh}=e^{-2x}(A\,\cos x+B\,sen \, x)\\&\\&\text{Para la particular se prueba con una exponencial igual}\\&\\&y_{pc}=C·e^{-4x}\\&\\&y_{pc}'=-4C·e^{-4x}\\&\\&y''_{pc}=16C·e^{-4x}\\&\\&16C·e^{-4x}+4(-4C·e^{-4x})+5C·e^{-4x}= 35e^{-4x}\\&\\&5Ce^{-4x}=35e^{-4x}\\&\\&C=7\\&\\&\text{luego la solución general es}\\&\\&y_{gc}=e^{-2x}(A\,\cos x+B\,sen \, x)+7e^{-4x}\\&\\&\text{Y ahora calculamos A y B con las condiciones iniciales}\\&\\&y_{gc}(0)=-3\\&\\&A+7=-3\\&\\&A=-10\\&\\&y'(0)=1\\&\\&y'_{gc}=-2e^{-2x}(-10cos x+B\,sen\,x)+e^{-2x}(10\,sen\,x+B\,\cos\,x)-28e^{-4x}\\&\\&20+B-28=1\\&\\&B=9\\&\\&\text{Luego la solución es:}\\&\\&y=e^{-2x}(-10\,\cos\,x+9\,sen\,x)+7e^{-4x}\end{align}$$La cual ha sido verificada y está bien.
Saludos.
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Perdón por la tardanza del gracia, es que estaba tratando de saber cual fue la diferencia de su respuesta con la del otro experto!
Me podría decir que hace a partir de y´gc=-2...
A partir de allí no entiendo como se soluciono!
La respuesta con el otro experto es que el calculo erróneamente las condiciones iniciales para la ecuación general de la solución de la homogénea, y hay que calcularlas para la ecuación general de la solución de la ecuación completa. Poe eso la salían distintas constantes y si compruebas la solución que aporta no satisface la ecuación diferencial completa mientras que la mía sí.
En esa línea calculo la derivada de y_gc que es la solución general de la ecuación completa. Y después sutituyo x=0 con lo que debe ser
(y_gc)'(0) = 20 + B - 28 = 1
Tal como dicen las condiciones iniciales y a partir de ahi se calcula B
Y ya conocíamos la ecuaciación general de la completa y sustituyendo los valores encontrados de A y B tenemos la solución que cumple las condiciones iniciales.
¡Qué mal me salió el comienzo! Quería decir:
La diferencia con el otro experto es que él calculó ...