Resolución de los siguientes dos ejercicios

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¡Hola Mery!

Yo haré los dos.

$$\begin{align}&log_2(3x-1)-2log_2(x-1)=1-log_2(x-2)\\&\\&\text{1 es el logaritmo de la base}\\&\\&log_2(3x-1)-2log_2(x-1)=log_22-log_2(x-2)\\&\\&\text{Por las propiedades de lso logaritmos}\\&\\&log_2(3x-1)-log_2(x-1)^2=log_22-log_2(x-2)\\&\\&log_2 \left(\frac{3x-1}{(x-1)^2}  \right)= log_2 \left(\frac 2{x-2}  \right)\\&\\&\frac{3x-1}{(x-1)^2}=\frac{2}{x-2}\\&\\&(3x-1)(x-2) = 2(x-1)^2\\&\\&3x^2-7x+2=2x^2-4x+2\\&\\&x^2-3x=0\\&\\&x(x-3)=0\\&\\&x_1=0\\&x_2=3\\&\\&\text{Y las verificamos}\\&\\&x=0 \text{ no sirve ya que da logaritmos de negativos}\\&\\&x=3\\&log_2 8-2log2= 1- log_21\\&3-2=1-0\\&1=1\\&\\&\text{luego solo sirve x=3}\\&\\&---------------------\\&\\&xy=4\implies y=\frac 4x\\&x^2+y^2=17\implies\\&\\&x^2+\frac{16}{x^2}=17\\&\\&x^4+16 = 17x^2\\&\\&x^4-17x^2+16=0\\&\\&\text{haciendo }z= x^2\\&\\&z^2-17z+16=0\\&\\&\text{Y esto se factoriza de cabeza}\\&\\&(z-16)(z-1)=0\\&\\&z_1=1, \;z_2=16\\&\\&x_1= \sqrt 1=1,y_1=4\\&x_2=- \sqrt 1=-1,\;y_2=-4\\&x_3=\sqrt{16}=4, y_3=1\\&x_4=-\sqrt{16}=-4,y_4=-1\\&\\&\text{Vemos que 1 y 3 son equivalentes, lo mismo 2 y 4}\\&\\&\text{Luego las soluciones son 2:}\\&a)\;\;\;\;\; 1\; y\;\;\;\;\; 4\\&b)\;-1\; y\; -4\end{align}$$

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Hola Mery!

$$\begin{align}&log_2(3x-1)-log_2(x-1)^2=log_22-log_2(x-2)\\&\\&log_2 \frac{3x-1}{(x-1)^2}=log_2 \frac{2}{x-2}\\&\\&dos \logaritmos \ iguales, tienen \ sus \ argumentos \ iguales:\\&\\&\frac{3x-1}{(x-1)^2}= \frac{2}{x-2}\\&\\&(3x-1)(x-2)=2(x-1)^2\\&3x^2-6x-x+2=2(x^2-2x+1)\\&x^2-3x=0\\&x(x-3)=0\\&x_1=0\\&x_2=3\end{align}$$

en las ecuaciones logarítmicas hay que comprobar que no quede ningún argumento negativo.

Así x=0  no sirve, ya quedan logaritmos negativos: log(x-3)=log(0-3)