Resolución de las siguientes ecuaciones
Tengo dudas con la resolucion de los siguientes apartados de este ejercicio
3 Respuestas
;)
Hola MerY!
a)Es una ecuación irracional condos radicales
Se despeja una raíz, y se eleva al cuadrado:
$$\begin{align}&\sqrt{6-x}=5- \sqrt {1-x}\\&\\&(\sqrt{6-x})^2=(5- \sqrt {1-x})^2 \rightarrow(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\&\\&6-x=25-10 \sqrt{1-x}+(1-x)\\&\\&trasponemos \términos:\\&6-x-25-1+x=-10 \sqrt{1-x}\\&-20=-10 \sqrt{1-x}\\&\\&2= \sqrt{1-x}\\&\\&volvemos \ a \ elevar \ al\ cuadrado:\\&4=1-x\\&x=1-4=-3\end{align}$$las soluciones de las ecuaciones irracionales se han de comprobar siempre en la ecuación inicial:
$$\begin{align}&\sqrt{6-(-3)}=5- \sqrt{1-(-3)}\\&\\&\sqrt 9=5- \sqrt 4\\&\\&3= 5-2\\&3=3\\&Si \ es \ solución\\&\end{align}$$recuerda votar las respuestas
;)
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¡Hola Mery!
Aunque lo hecho por Lucas es lo más sencillo, dejar una raíz a cada lado de la igualdad, también puede hacerse con las dos al mismo lado, yo lo haré así para variar. También haré el segundo, pero parece más un problema de Teoría de Números que una simple ecuación exponencial.
$$\begin{align}&\sqrt{6-x}+ \sqrt{1-x}=5\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&6-x +1-x +2 \sqrt{6-x}\sqrt{1-x}=25\\&\\&\text{pasamos los términos no raíz a la derecha}\\&\\&2 \sqrt{6-x}\sqrt{1-x} = 2x+18\\&\\&\text{elevamos de nuevo al cuadrado}\\&\\&4(6-x)(1-x)=4x^2+324+72x\\&\\&24-24x-4x+4x^2=4x^2+324+72x\\&\\&24-324=100x\\&\\&x= \frac{-300}{100}=-3\\&\\&\text{Comprobamos que no es una respuesta fantasma}\\&\\&\sqrt{6-(-3)}+\sqrt{1-(-3)}=3+2=5\\&\\&------------------\\&\\&3^{1-x}-2·3^{x+1}= 4+3^{x+2}\\&\\&\text{Esto es bastente complejo, supongo que os}\\&\text{habrán enseñado algo para resolverlo}\\&\\&3^{1-x}-2·3^{x+1}- 3^{x+2}= 4\\&\\&3^{1-x}(1-2·3^{x+1-1+x}-3^{x+2-1+x})=4\\&\\&3^{1-x}(1-2·3^{2x}-3^{2x+1})= 4\\&\\&3^{1-x}(1-2·3^{2x}-3·3^{2x})= 4\\&\\&3^{1-x}(1-5·3^{2x})= 4\\&\\&\text{Si }x\ge0 \implies 1-5·3^{2x}\le1-5=-4\\&\\&\text{izquierda negativa y derecha positiva, imposible}\\&\text{luego }x <0\\&\\&\text{Si hacemos y=-x lo replanteamos como}\\&\\&3^{1+y}(1-5·3^{-2y})= 4 \qquad \text{con } y\gt 0\\&\\&3^{1+y}\left(1-\frac{5}{3^{2y}}\right)=4\\&\\&3^{1+y}\left(\frac{3^{2y}-5}{3^{2y}}\right)=4\\&\\&\frac{3^{1+y}}{3^{2y}}(3^{2y}-5)=4\\&\\&3^{1-y}(3^{2y}-5)=4\\&\\&3^{1-y}\; será\left(1,\frac 13, \frac 19, \frac 1{27},... \right)\\&\\&(3^{2y}-5) \text{ será } {(4, 76,724},...)\\&\text{ninguno de estos puede ser múltiplo de 3}\\&\text{Luego su producto por }\frac{1}{3^n} \\&\text{será fraccionario y no podrá ser 4}\\&\text{Luego solo sirve el caso }y=1\\&\\&3^{1-1}(3^{2·1}-5)=3^0(9-5)=4\\&\\&\text{Y como }x=-y\\&\\&x=-1\end{align}$$:
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No se ofendan pero te vendieron humo
Para eliminar las raices es recomendable elevar los terminos de ambos lados al cuadrado.. veamos
raiz(6-x) + raiz (1-x) =5
pasamos un termino al otro ladoy los elevamos al cuadrado, quedando
( raiz(6-x) )^2= ( 5 - raiz (1-x) )^2
Haciendo esto eliminas las raices de un lado (regla matematica), pero del otro tenes que haces distribucion binomial por tener dos terminos elevados al cuadrado, de esa forma eliminas el termino con raiz dejando a la clara solo uno.. sigamos
(6-x) = 5^2 - 2.5. raiz (1-x) +(raiz (1-x) )^2
El ultimo termino esta elevado al cuadrado, por ende podes eliminar la raiz, quedando
(6-x) = 5^2 - 2.5. raiz (1-x) + (1-x)
factoreo
6 - x = 25-10. raiz (1-x) + 1 - x
Tenemos -x de ambos lados, por ende se eliminan, dejemos de un lado la x y del otro los valores independientes
6-25-1 = -10. raiz (1-x)
sigamos
-20 = -10. raiz (1-x)
pasamos el 10 al otro lado
-20/-10 = raiz (1-x)
2=raiz (1-x)
Ya esta entre dos panes, saquemos la raiz al otro lado (por regla matematica pasa al cuadrado) y veamos que nos da
2^2 = 1 - x
x= - 3
eso seria todo...