¿Qué me conviene para usar gmail, versión web o algún cliente de correo?

Te recomiendo una buena Guía de gmailpara que lo manejes como los profesionales desde Cómo iniciar sesión en Gmail asta enviar correo como empresa con diseños

Te recomendamos utilizar GMAIL directamente sobre la aplicación Web. Es mucho más rápida que utilizando un Cliente de Correo y con la ventaja que dispones de todas las opciones que Google pone al servicio de los usuarios directamente online.

Recuerda que además puedes Configurar Gmail con eMails de Empresa o Cuentas de Correo de tu propio Dominio. En la siguiente publicación tienes un detallado Tutorial:

http://webart.es/herramientas-google-gratis-para-paginas-web/configurar-gmail-con-emails-de-empresa-o-cuentas-correo-dominio

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En lo personal he usado Thunderbird y me ha funcionado bastante bien. Tener tu correo de forma local siempre es una ventaja, si usas un equipo portátil y en tu correo tienes información que necesitas consultar constantemente.

Coincido con Francisco, ya que siempre he utilizado Microsoft Outlook como cliente de correo electrónico, sin embargo muchos clientes se les facilita más la administración de sus correos con los motores de google, así que depende más de como te acomodes mejor para trabajar.

Perdón me olvide indicarte la guía, click aquí espero ayudarte.

Puedes usar las dos maneras