Cómo calcular los excedentes con función de demanda?

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¡Hola Angel!

Yo acostumbro a contestar esta pregunta con este rollo introductorio, como ya lo tego escrito cuesta poco ponerlo:

El excedente del consumidor es el dinero que se han ahorrado los consumidores por la competencia del mercado y el del productor el que ha ganado el productor por eso mismo.
¿Cómo pueden ganar los dos te preguntarás?
Porque el consumidor podría haber pagado un precio más alto del que finalmente paga y porque el productor también podría haber tenido que vender a menos precio. Las ganancias se miden respecto al precio de equilibrio y en la gráfica de las funciones es el área comprendida entre las respectivas funciones y la recta horizontal dada por el precio de equilibrio. El excedente del consumidor es un área por encima de la recta y el del productor por debajo.
Cuando las funciones son complicadas se tiene que usar el calculo integral, mientras que si son rectas se puede calcular también por geometría.

Llamaremos (qo, po) al punto de equilibrio, d(q) la función de la demanda y f(q) la de la oferta. Estas son las fórmulas de los excedentes del productor (ep) y del consumidor (ec)

$$\begin{align}&ep = \int_0^{q_0}(p_0-f(q))dq\\& \\& \\& ec = \int_0^{q_0}(d(q)-p_0)dq\\& \\& \\& \text {que son equivalentes a estas: }\\& \\& \\& ep = p_0q_0 -\int_0^{q_0}f(q)dq\\& \\& \\& ec = -p_0q_0 +\int_0^{q_0}d(q)dq\end{align}$$

Y ahora llega ya la hora de calcular, primero calculamos el punto de equilibrio (qo, po) que la intersección de las curvas de la demanda y la oferta.

$$\begin{align}&p=\sqrt{49-6x}\\&p=x+1\\&\\&x+1=\sqrt{49-6x}\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&x^2+2x+1=49-6x\\&\\&x^2+8x-48=0\\&\\&x=\frac{-8\pm \sqrt{64+192}}{2}=\frac{-8\pm16}{2}=4\\&\\&\text{La otra respuesta es negativa, no sirve}\\&\\&p=4+1=5\\&\\&\text{Luego el punto de equilibrio es }(x_0,p_o)=(4,5)\\&\\&\text{El que yo llamaba }q_0\text{ es }x_0\text{ con esta notación}\\&\\&ec = -p_0x_0 +\int_0^{x_0}d(x)\;dx\\&\\&ec=-4·5+\int_0^4 \sqrt{49-6x}\;dx=\\&\\&\text{lo arreglamos para dejar dentro una derivada exacta}\\&\\&-20+\frac{1}{(-6)}\int_0^4 (-6)·(49-6x)^{\frac 12}\;dx=\\&\\&-20-\frac 16·\left[\frac{(49-6x)^{\frac 32}}{\frac 32}  \right]_0^4=\\&\\&-20-\frac 19\left[(49-6x)^{\frac 32}  \right]_0^4 =\\&\\&-20-\frac 19\left(25^{\frac 32} -49^{\frac 32} \right)=\\&\\&-20-\frac 19\left(5^3 -7^3\right)=\\&\\&-20- \frac 19·(-218) = -20+24.222...=4.222...\\&\\&----\\&\\&\text{Y el del productor es}\\&\\&ep = p_0x_0 -\int_0^{x_0}f(x)dx\\&\\&ep=5·4-\int_0^4(x+1)dx=\\&\\&20-\left[\frac{x^2}{2}+x \right]_0^4= 20-\left(8+4-0-0  \right)=20-12=8\end{align}$$

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