En el idioma inglés, en qué casos se usa para negación: don't+verbo, ¿Y cuándo se usa el verbo+not?

Como regla general únicamente con los verbos modales (can, could, may, might, will, shall, should, ought to, must/have to, would), para preguntar o para negar no se usa el DO. Así pues, te comentaré uno por uno los ejemplos que das:

"lead us not into temptation". No es el caso. La frase está bien pues el tiempo está en "imperativo".

"I have no problem" ... "I haven't problem". La primera es una frase afirmativa, aunque implique negar algo. No cabe pues pensar en usar DO para nada. La segunda, estaria bien si la completases: "I have not any problem" o pusieses "I have no problem". También se puede usar (hace años no) "I don't have any problem" .

"I don't have problem".. Ya ves que le falta "any".

Para terminar, ahi van algunos ejemplos:

Con verbos modales:

I can not read or write in German. ¿Can you speak German?

I may not drink whisky. May I dance with you?

Con los demás verbos:

I don't take the bus to go home. ¿Do you go home by bus?

I don't play the piano. ¿Does she play the piano?

¿Está más claro?