Por qué cuando pongo el calentador cerca del mínimo no calienta nada?

Eso es así por la membrana que lleva el aparato, necesita una presión mínima para poder levantar el vástago que incide en la válvula de gas, si abres mucho el caudal no hace presión suficiente en la membrana y no levanta, evidentemente la membrana ya se deterioro y no tiene la misma resistencia, por lo tanto, supongo que con que cambies dicha membrana volverás a tener buen servicio, dicha membrana se encuentra alajodada en el cuerpo de agua, el cuerpo de agua es parecido a un platillo volante, de estos de las películas jijiji, puede ser de plástico o metal, va enganchado a la válvula de gas justo en el centro del aparato, en la parte inferior, esta conectado por dos tornillos en el cuello, y directamente de la pared le entrara la conexión de agua y por el lateral tendrá la conexión hacia el calentador, si eres capaz de desmontar esa pieza, veras que tiene entre 5 o 6 tornillos que unen las dos partes del platillo, si lo abres encontraras la membrana de la que hablamos, con ella en la mano te vas a una casa de repuesos y que ten otra igual, asegiurate de ponerlo todo como estaba cuando la montes, la reparación te puede costar como mucho 10 euros

Eso suele ser un problema de la membrana del calentador, si es de los que la llevan. Cuanto más vieja es la membrana, más le cuesta abrir con menos presión de agua la válvula de gas.