La manera sencilla de resolverlo es con un buscarv. Para ello es necesario que los datos siempre aparezcan ordenados por fechas correctamente, es decir, para una misma persona, sus registros agrupados y de más antiguo a más reciente, tal y como has presentado en el ejemplo. En caso contrario no funcionará.
También tomamos la consideración que todas las personas están activas, es decir, la fecha FINAL de su último registro es el 31/12/9999. Caso contrario dímelo y le doy una vuelta para poder considerar los casos que no sea así.
Lo siguiente que necesitas es tener el valor que buscas a la derecha de tus datos de búsqueda, es decir, o bien copiar enterita la columna "INSTITUCIÓN" a la derecha de la columna "FINAL", o formular esa columna para que nos devuelva ese dato.
Finalmente solamente queda aplicar la fórmula:
Aquí tienes la fórmula:
=SI(CONSULTAV(A2;SI($G$2:$G$8=$D$2;$J$2:$L$8;0);3;VERDADERO)=0;B1;CONSULTAV(A2;SI($G$2:$G$8=$D$2;$J$2:$L$8;0);3;VERDADERO))
Observa que yo utilizo la fórmula "CONSULTAV", probablemente tú debas utilizar "BUSCARV". Observa que yo utilizo punto y coma como separador de argumentos, posiblemente debas utilizar comas en su lugar.
Finalmente, se trata de una función de matriz, es decir, la debes escribir (o pegar) y pulsar CONTROL + MAYÚSCULAS + ENTER en lugar de solamente ENTER. Si no lo haces así no funcionará.
Cualquier problema me comentas.