Un libro contiene 500 páginas en las que pueden existir errores tipográficos
Un libro de matemáticas contiene 500 páginas en las que pueden existir errores tipográficos en las ecuaciones. Si el libro tiene 12 errores tipográficos en 500 hojas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 75 hojas se tenga al menos 2 errores?
b) ¿Qué tan grande debe ser la muestra para poder asegurar que se tengan al menos 5 errores con probabilidad del 90%?
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¡Hola Gary!
Es una distribución de Poisson. Veamos cuál debe ser el parámetro lambda aplicable a 75 hojas
500 páginas ----> 12 errores
75 página -----> lambda
lambda = 12·75 / 500 = 1.8
$$\begin{align}&\text{La fórmula de probabilidad es}\\&\\&P(k)= \frac{e^{-\lambda}·\lambda^k}{k!}\\&\\&P(\ge2)=1-P(0)-P(1)=\\&\\&1-\frac{e^{-1.8}·1.8^0}{0!}-\frac{e^{-1.8}·1.8^1}{0!}=\\&\\&1-e^{-1.8}(1+1.8) = \\&\\&1-2.8e^{-1.8}=0.537163113\\&\\&------\\&\\&\text{La probabilidad de al menos 5 errores será}\\&\\&1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)-P(4)=\\&\\&1-e^{-\lambda}\left(1+\lambda+\frac{\lambda^2}{2}+\frac{\lambda^3}4+\frac{\lambda^4}{24}\right)\ge0.9\\&\\&\text{resuelto con WolframAlpha es}\\&\\&\lambda \ge 8.2228968\\&\\&\end{align}$$Y ahora aplicamos la regla de tres al revés.
12 errores -----> 500 páginas
8.2228968 errores -----> x
x= 500 · 8.2228968 / 12 = 342.6207
Luego se necesitará una muestra de 343 páginas.
Ese es el cálculo exacto, pero no te van a dejar usarlo porque has empleado un programa de ordenador, así que habrá que buscar la típica aproximación de la distribución de Poisson a una normal.
Dicen que si lambda es grande se puede aproximar por una normal de media lambda y desviación raíz de lambda. Aquí lambda no va a ser grande, pero si no queda otro remedio.
$$\begin{align}&\text{Sea X la aproximación normal}\\&\\&P(X\ge5)=1-P(X<5)\\&\\&\text{Se corrige en 0.5 }\\&\\&1-P(X\le4.5)\ge 0.9\\&\\&P(X\le4.5)\le0.1\\&\\&\text{El z de una N(0,1) que tiene probabilidad 0.1 es }-1.28\\&\\&\text{Tipicando X será}\\&\\&\frac{4.5-\lambda}{\sqrt{\lambda}}=-1.28\\&\\&4.5- \lambda=-1.28 \sqrt \lambda\\&\\&\lambda-1.28 \sqrt \lambda-4.5=0\\&\\&\sqrt \lambda= \frac{1.28 \pm \sqrt{1.28^2+18}}{2}=\\&\\&\frac{1.28\pm4.43152344}{2}=2.85576172\\&\\&\lambda=2.85576172^2=8.155375\\&\end{align}$$Y la regla de tres nos da ahora:
12 errores -----> 500 páginas
8.155375 errores -----> x
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x= 500 · 8.155375 /12 = 339.80729
Luego se necesita una muestra de 340 páginas.
Este es el método que quieren que uses, aunque el bueno era el anterior.
Y eso es todo, sa lu dos.
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¡Gracias! Valero Angel Serrano, por su tiempo al responder la pregunta que tenia, la verdad es que tenia muchas dudas que ya fueron aclaradas.
