En los siguientes ejercicios, determina si el primer miembro es combinación lineal de los otros dos.

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Hola omar!

Si el primer polinomio es combinación lineal de los otros dos, se han de poder calcular dos escalares a y b, tal que

P=aQ+bR

$$\begin{align}&6x^3 -3x^2+x+2=a(x^3-2x^2+x+2)+b(2x^3+3x^2-x-6)\\&\\&igualando \ los \ coeficientes \ de \ los \ términos \ del \ mismo \ grado:\\&\\&6=a+2b\\&-3=-2a+3b\\&1=a-b\\&2=2a-6b\end{align}$$

Matriz ampliada:

 1    2    6

-2    3   -3

 1   -1    1

 2    6    2

Determinante:

| 1    2    6|

|-2    3   -3|  =   3-6+12-(18+3-4)=-8     ===>  diferente de cero   ==> Rang M*=3

| 1   -1    1|

Menor de orden 2:

| 1    2 |

|-2    3|

=3-(-4)=7  ==>  diferente de cero ==> Rango M( matriz de los coeficientes)=2

Por el Teorema de Rouché-Frobenius este sistema no tiene solución. Con lo cual no se pueden calcular los escalares a y b, y ho hay combinación lineal. Esos tres polinomios son linealmete independientes.

Saludos

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¡Hola Omar!

Intentemos poner el primer elemento como combinación lineal de los otros dos.

$$\begin{align}&       a(x^3 -2x^2 +x +2)+b(2x^3 +3x^2 -3x -6)=6x^3 -3x^2 +x +2\\&\\&ax^3-2ax^2+ax+2a+2bx^3+3bx^2-3bx-6b=6x^3 -3x^2 +x +2\\&\\&(a+2b)x^3+(-2a+3b)x^2+(a-3b)x+2a-6b= 6x^3 -3x^2 +x +2\\&\\&\text{Como es una igualdad polinómica debes ser iguales}\\&\text{todos los coeficientes}\\&a+2b=6\\&-2a+3b=-3\\&a-3b=1\\&2a-6b=2\\&\\&\text{La tercera y cuarta son equivalentes}\\&\text{Sumando segunda y tercera tenemos}\\&-a=-2\\&a=2\\&\text{Y en la tercera tendremos}\\&2-3b=1\\&3b=1\\&b=\frac 13\\&\\&\text{Veamos si se cumple la ecuación primera}\\&2+2·\frac 13= \frac 83\neq6\\&\end{align}$$

Luego no se cumple y por lo tanto no hay solución y no hay combinación lineal que cumpla lo que piden.

Y eso es todo, saludos.

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