¿El método apropiado de solución de la ecuación diferencial adjunta en el mensaje cual es?

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¡Hola Maryeri!

Solo nos dan dos opciones relacionadas entre sí, miraremos a ver si es exacta y si no probaremos con el factor integrante.

No hay suficiente resolución mira a ver si otra vez lo haces mejor, supondré que los exponentes son 3 pero podrían ser cualquier cosa.

$$\begin{align}&\frac{(x^3+e^x seny + y^3)dx}{-(3xy^2+e^x \cos y+y^3)dy}=1\\&\\&\text{La ponemos en la forma }M\,dx + N\,dy = 0\\&\\&(x^3+e^x seny + y^3)dx=-(3xy^2+e^x \cos y+y^3)dy\\&\\&(x^3+e^x seny + y^3)dx+(3xy^2+e^x \cos y+y^3)dy=0\\&\\&M_y=e^xcosy + 3y^2\\&N_x=3y^2+ e^xcosy\\&\\&M_y=N_x\implies \text{Es exacta}\\&\\&\text{integramos la que veamos más fácil, las dos son igual}\\&\\&U(x,y)=\int M dx= \frac{x^4}{4}+e^xseny+xy^3+\varphi(y)\\&\\&U_y(x,y)=N\\&\\&e^xcosy +3xy^2+\varphi'(y)=3xy^2+e^x \cos y+y^3\\&\\&\varphi'(y)=y^3\\&\\&\varphi(y) = \frac{y^4}{4}\\&\\&\text{Luego la solución }U(x,y)=C \text{ queda así}\\&\\& \frac{x^4}{4}+e^xseny+xy^3+\frac{y^4}{4}=C\\&\\&\frac{x^4+y^4}{4}+e^xseny+xy^3=C\\&\\&\text{La respuesta es la 3}\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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