Casos en el que el Teorema Fundamental del Cálculo NO se cumple para resolver integrales, tal es el caso de integrales
Existen casos en el que el Teorema Fundamental del Cálculo NO se cumple para resolver integrales, tal es el caso de integrales que tienen integrando discontinuo en el intervalo propuesto. Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a, b), entonces:
Si el límite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el límite es el valor de la integral. Si el límite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.
Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen:
2 Respuestas
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¡Hola Marcos!
De nuevo resolveré las dos primeras y las otras dos las mandas cada una en una pregunta.
La primera es un función solo discontinua en x=1, luego no hay discontinuidades en el intervalo de integración, la integral es impropia solo porque el extremo derecho es infinito.
$$\begin{align}&\int_2^{\infty} \frac{1}{(x-1)^2}dx=\\&\\&\lim_{K\to \infty}\int_2^K \frac{dx}{(x-1)^2}= \lim_{K\to \infty}\left(-\frac{1}{x-1}\bigg|_2^{K}\right)=\\&\\&\lim_{K\to \infty}\left(-\frac{1}{K-1}+\frac{1}{2-1}\right)=0+1=1\end{align}$$La segunda no tiene discontinuidad en ningún punto, luego es impropia solo por tener los dos extremos en los infinitos.
$$\begin{align}&\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}= \lim_{K\to \infty}\int_{-K}^{K} \frac{dx}{1+x^2}=\\&\\&\lim _{K\to \infty}arctg\,x\bigg|_{-K}^K= \lim_{K\to \infty}(arctg\,K - arctg(-K))=\\&\\&\frac \pi2-\frac{-\pi}{2}= \pi\\&\\&\end{align}$$Hay que tener en cuenta que arctg está definido en (-pi/2, pi/2) no tengamos la tentación de expresar el ángulo de 270º como 3pi/2, hay que expresarlo como -pi/2.
Y eso es todo, sa lu dos.
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Te dejo las otras 2
$$\begin{align}&3) \int_0^3 \frac{1}{\sqrt{3-x}}dx\\&\text{Es discontinua en x=3, así que resolveremos aplicando el límite y veremos que da}\\&=\lim_{L \to 3} -2 \sqrt{3-x}\bigg|_0^L==\lim_{L \to 3} -2 \sqrt{3-3}- (-2 \sqrt{3-0})= 0+2 \sqrt{3}=2 \sqrt{3}\\&4) \int_{-2}^7 \frac{1}{(x+1)^{2/3}}dx\\&\text{Es discontinua en x=-1, como está dentro del intervalo debemos separar la integral hasta ese valor y calcular los límites respectivos en cada caso}\\&\int_{-2}^{-1} \frac{1}{(x+1)^{2/3}}dx + \int_{-1}^7 \frac{1}{(x+1)^{2/3}}dx = \\&\lim_{L \to -1} 3(1+x)^{1/3}\bigg|_{-2}^{L} + \lim_{M \to -1} 3(1+x)^{1/3}\bigg|_{M}^{7} = \\&\lim_{L \to -1} 3(1+L)^{1/3} - 3(1-2)^{1/3} + \lim_{M \to -1} 3(1+7)^{1/3}- 3(1+M)^{1/3}=\\&3(0)^{1/3} - 3(-1)^{1/3} + 3(8)^{1/3}- 3(0)^{1/3}=0 + 3 + 6 - 0 = 9\end{align}$$Salu2