Como calculo intervalo de crecimiento para la siguiente función

$$\begin{align}& \end{align}$$

Hay que calcular la derivada (cosa que haz hecho), y luego evaluarla y lo que puede pasar es

f'(x) = 0, posible máximo o mínimo (no es seguro que lo sea, como ejemplo tenés x^3)

f'(x) > 0, la función crece

f'(x) < 0, la función decrece

Para el análisis siguiente voy a derivar la función (no es que desconfíe de tí, pero vamos a estar seguros que sea esa la derivada).

$$\begin{align}&f(x) = \frac{x^2-2x+2}{x}\\&f'(x)= \frac{2x-2}{x}-\frac{x^2-2x+2}{x^2}=\frac{x(2x-2)-x^2+2x-2}{x^2}=\frac{2x^2-2x-x^2+2x-2}{x^2}\\&\therefore\\&f'(x)=\frac{x^2-2}{x^2} \text{    (Efectivamente es lo que habías calculado estaba bien)}\\&\text{Observación, notá que la derivada no está definida en x=0 (aunque no es crítico ya que la función tampoco)}\\&\text{Ahora veamos cuando }f´(x)=0\\&f'(x)=\frac{x^2-2}{x^2}=0\to x^2-2=0 \to x = \pm \sqrt{2}\\&\text{Ya sabemos cuando vale 0 y además donde no está definida, por lo tanto eligiendo puntos dentro de esos intervalos, la derivada tendrá siempre el mismo signo. Los intervalos a evaluar son:}\\&(-\infty,-\sqrt{2}) \to Elijo\ x=-2\\&(-\sqrt{2}, 0) \to Elijo\ x=-1\\&(0, \sqrt{2}) \to Elijo\ x=1\\&(\sqrt{2}, +\infty) \to Elijo\ x=2\\&\text{Recuerda que solo importa el signo}\\&x=-2 \to f'(-2) = \frac{(-2)^2-2}{(-2)^2}=\frac{+}{+} = + \to \text{La función crece en este intervalo}\\&x=-1 \to f'(-1) = \frac{(-1)^2-2}{(-1)^2}=\frac{-}{+} = - \to \text{La función decrece en este intervalo}\\&x=1 \to f'(1) = \frac{(1)^2-2}{(1)^2}=\frac{-}{+} = - \to \text{La función decrece en este intervalo}\\&x=2 \to f'(2) = \frac{(2)^2-2}{(2)^2}=\frac{+}{+} = + \to \text{La función crece en este intervalo}\\&\text{Como consecuencia de lo anterior, también se deduce que}\\&x=\{-\sqrt{2}\} \ es \ máximo\\&x=\{\sqrt{2}\} \ es \ mínimo\\&\text{Para la concavidad, debemos evaluar f''(x)}\\&f'(x)=\frac{x^2-2}{x^2}\\&f''(x) = \frac{2x}{x^2}-2 \frac{x^2-2}{x^3}=\frac{2x^2- 2x^2+4}{x^3}=\frac{4}{x^3}\\&\text{En este caso, ver el signo está fácil, ya que el numerador siempre es positivo, y el denominador tendrá el signo de x, por lo que f''(x) tendrá el signo de x (recordemos que en x=0 no está definida) y por lo que se puede ver, f''(x) nunca vale 0}\end{align}$$

Te dejo que digas vos los intervalos de concavidad y convexidad, ya que no todos lo definen igual, y en algunos casos para algunos es cuando f''(x) > 0 y para otros al reves.

Salu2

Para concavidad primero evalúo mi 2da derivada, ¿igualo a cero y?