Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada

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¡Hola Johana!

La restricción la ponemos en forma de una función igualada a 0

fi(x,y,z) = x^2+y^2-27 = 0

Entonces los puntos críticos de la la función F(x, y, z) restringidos a fi(x, y, z)=0 son los de esta función L(x, y, z) (Lagrangiano):

$$\begin{align}&L(x,y)=xy^2+\lambda(x^2+y^2-27)\\&\\&L_x=y^2+2 \lambda x==> Lx=0=>\lambda=- \frac{y^2}{2x}\\&\\&L_y=2xy+2y \lambda=> L_y=0=> \lambda=-x\\&\\&L_{\lambda}=x^2+y^2-27=> L_{\lambda}=0\\&\\&- \frac{y^2}{2x}=-x\\&y^2=2x^2\\&x^2+2x^2-27=0\\&x^2=9\\&x= \pm 3\\&x=3==>y^2=2x^2=18==>y=\pm 3 \sqrt 2\\&A=(3, 3 \sqrt 2)\ con \ \lambda=-x=-3\\&B=(3, -3 \sqrt 2)\ con \ \lambda=-x=-3\\&\\&x=-3\\&C=(-3, 3 \sqrt 2)\ con \ \lambda=-x=3\\&D=(-3,-3 \sqrt 2) \ con \lambda =3\end{align}$$

Hessiano:

$$\begin{align}&L_{xx}=2 \lambda\\&\\&L_{xy}=L_{yx}=2y\\&\\&L_{yy}=2x+2 \lambda\end{align}$$

es el determinante:

$$\begin{align}&2 \lambda  \ \ \  \ \ 2y\\&2y \ \ \ \ \ 2x+2 \lambda\end{align}$$

H(A)=-72

H(B)=-72

H(C)=-72

H(D)=-72

H<0  ==> no podemos concluir el tipo de extremo

Saludos

;)

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