Estabilidad de sistemas. Como resolver los siguientes problemas:

Estabilidad de sistemas. Como resolver los siguientes problemas:

Considera la función f(x)=√(x+1)-√x. Al calcularla para valores normales no parece haber ningún problema, pero considera usarla para valores grandes de x, digamos x≈〖10〗^4.
Obtén la expresión para el condicionamiento de f(x) dependiendo de x
Trabajando con una precisión de 4 cifras significativas, explica en tus propias palabras por qué la expresión f_s (x)=1/(√(x+1)+√x) es más estable.
Tip: Considera comparar el error absoluto y relativo de valores grandes. Intenta determinar en qué paso f(x) aumenta su condicionamiento.
La función
g(x)=(e^x-1)/x=∑_(i=0)^∞▒〖x^i/(i+1)!〗
se puede calcular, ingenuamente, mediante el siguiente algoritmo
Si x=0
g=1
si no
g=(exp(x)-1)/x
fin
¿Dónde consideras que este algoritmo se vuelve inestable y por qué?
¿Cómo consideras que el cambio de variable en el algoritmo siguiente contribuye a su estabilidad?
y=exp(x)
Si y=1
g=1
si no
g=(y-1)/log(y)
Fin
Tip: Compara un par de tablas con valores entre 〖10〗^(-5) y 〖10〗^(-16) con 10, 15, y 20 cifras significativas para cada algoritmo para que puedas observar el efecto numéricamente.