¿Cómo balanceo esta ecuación por el método de ion electrón?

En primer lugar, el símbolo del arsénico es As, no AS, y el del cloro, Cl, no CL.

Números de oxidación que cambian en la reacción:

As: pasa de +3 en el primer miembro a +5 en el segundo. Pierde electrones. Se oxida. Es un reductor.

S: Pasa de -2 en el primer miembro a +6 en el segundo. Pierde electrones. Se oxida. Es otro reductor.

Cl: pasa de +5 en el primer miembro a -1 en el segundo. Gana electrones. Se reduce. Es el oxidante.

Es decir, que tenemos dos reductores oxidados por el oxidante ClO3(-).

Semirreacciones:

Reductor: 2 As(3+) + 8 H2O   --->   2 AsO4(3-) + 16 H(+) + 4 e(-)

Reductor: 3 S(2-) + 12 H2O   --->   3 SO4(2-) + 24 H(+) + 24 e(-)

Sumamos las dos semirreacciones de los reductores:

2 As(3+) + 8 H2O + 3 S(2-) + 12 H2O --->

2 AsO4(3-) + 16 H(+) + 4 e(-) + 3 SO4(2-) + 24 H(+) + 24 e(-)

y simplificamos esta suma:

2 As(3+) + 3 S(2-) + 20 H2O   --->   2 AsO4(3-) + 3 SO4(2-) + 40 H(+) + 28 e(-)

Oxidante: ClO3(-) + 6 H(+) + 6 e(-)   --->   Cl(-) + 3 H2O

Para sumar las semirreacciones de oxidación y de reducción multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 14, con lo que eliminaremos los e(-)

6 As(3+) + 9 S(2-) + 14 ClO3(-) + 60 H2O + 84 H(+)      --->

6 AsO4(3-) + 9 SO4(2-) + 14 Cl(-) + 42 H2O + 120 H(+)

Simplificamos:

6 As(3+) + 9 S(2-) + 14 ClO3(-) + 18 H2O      --->

6 AsO4(3-) + 9 SO4(2-) + 14 Cl(-) + 36 H(+)

La reacción ya está ajustada. Para completarla con los iones que faltan, añadiremos en ambos miembros 14 K(+),

3 As2S3 + 14 KClO3 + 18 H2O ---> 6 H3AsO4 + 9 H2SO4 + 14 KCl