Ejercicio sobre tiro parabólico (Física)
Un jugador de futbol americano debe hacer un gol de campo desde un punto a 36,3 m de la zona de gol y la mitad de los espectadores espera que la bola supere la barra transversal del goal post, que está ubicada a 3,00 m de alto del suelo. Cuando se patea, la bola deja el suelo con una rapidez de 19,7 m/s en un ángulo de 55,2° respecto de la horizontal.
A. ¿El lanzamiento realizado alcanza para superar la barra horizontal del goal post?
B. ¿Cuál es la diferencia en la altura alcanzada por la bola, por encima o por debajo de la barra horizontal?
¿La bola se aproxima a la barra horizontal mientras aún se eleva o mientras va de caída?
2 respuestas
Sin perjuicio de lo que expone Gustavo, que esta correcto, te hago un planteo sin utilizar el tiempo...( variante del otro).
Siendo x= Vot cos alfa ...........................y = Vot cos alfa - 1/2 g t^2
Si eliminas t entre las dos... y(x) = x tg alfa - gx^2 / 2 Vo^2 cos ^2 alfa
Tomando g= 9.8 m/s^2 y reemplazando en los datos tendrías la ecuación de la trayectoria
y(x) = x tg 55.2 ° - 4.90 / 19.7^2 x cos^2( 55.2) = 1.44 x - 0.03876 x^2
El alcance lo sacas anulando y(x) = 0 ...........-.....1.44 = 0.03876 X .........X= 37.15 metros. O sea:
A) El alcance del lanzamiento pasa los 36.3 metros ( dato) pero no alcanza para superar la barra horizontal.
B) Llegaria a una altura = reemplazas x= 36.3 m en la ecuacion de la trayectoria .... llegari alli con una altura= 1.44 x 36.3 -+ 0.03876 x 36.3^2 m= 52.272 - 51.073 = 1.20 metros ...o sea 1.80 m debajo de la barra horizontal.
C) Para ver esto debes saber para que valor de x la pelota alcanza la máxima altura...
Hay una fórmula directa para estimar la máxima altura ( que parte de anular dy/dx ) y es:
Maxima altura de la parabola = Vo^2 sen ^2 alfa / 2g = 19.7^2 x sen^2( 55.2°) / 2 x 9.80 = 13.35 metros....que se da para la mitad del alcance teorico = 37.15/2 = 18.57 metros. O sea la bola se aproxima cuando va de caida.
$$\begin{align}&Esta página es una basura\end{align}$$Poniendo el origen de coordenadas desde el punto donde patea, las ecuaciones involucradas son:
$$\begin{align}&x(t) = v_o \cos(\alpha) t =19.7 \cos(55.2°) t = 11.243 t\\&y(t) = v_o sen(\alpha) t- \frac{1}{2}g t^2=19.7 sen(55.2°) t- \frac{1}{2} \cdot 9.8 t^2=16.177t - 4.9t^2\\&v_y(t) = 16.177-9.8t\\&\text{Ahora veamos lo que pide}\\&a) \text{ Primero voy a ver cuanto tiempo tarda en recorrer los 36.3 m (en la dirección x)}\\&x(t) = 36.3 =11.243 t \to t=3.23s\\&\text{Ahora veamos a que altura está}\\&y(3.23s) = 16.177 \cdot3.23 - 4.9\cdot 3.23^2=1.13m\\&b)\text{La diferencia es de 1.87m (por debajo de la barra)}\\&c) \text{ Una posibilidad para ver esto es ver las dos veces que la bola está a la altura de 1.13m, la primera}\\&\text{será mientras sube, y la otra mientras cae, para eso planteamos}\\&y(t) = 1.13m = 16.177 \cdot t - 4.9\cdot t^2\\&0 = -1.13+16.177t-4.9t^2\\&\text{Planteando la cuadrática obtienes}\\&t_1 = 0.07s\\&t_2 = 3.23s\\&\text{Como el valor que obtuvimos antes es el segundo, la pelota estaba cayendo}\\&\text{Otra forma que podías usar para ver si subía o bajaba era calcular la velocidad en y a los 3.23s}\\&\text{Si el valor es positivo, la pelota está subiendo, mientras que si es negativo la pelota está cayendo, en este caso}\\&v_y(3.23s) = 16.177-9.8\cdot 3.23 = -15.477 \text{ Igual que dedujimos antes, el valor es negativo, por lo que la pelota estaba cayendo}\end{align}$$Salu2
Estimado Gustavo Omar, muchas gracias por su colaboración me sirvió bastante su explicación muy detallada y un paso a paso fácil de entender. Muchas gracias