Si el programador SOLO se alimenta con 12V, solo puede darse 2 casos, uno que traiga una salida de 12V que cuando abre el programador entregue 12V para hacer funcionar un relé o contactor(esto se suele usar para activar electroválvulas de riego), o opción 2 que tenga un relé el programador mismo al que puedas conectarle un contactor si dicho relé no admite los amperios de la bomba o conectarlo directamente al relé del programador si este permite el paso de bastantes amperios. (Ten encuenta que tu bomba consume 5A pero en el arranque podría irse a 15A) Algunos programadores llevan ambas opciones, dado que las electroválvulas necesitan 12V para abrir y la bomba necesita un relé o contactor para dejar pasar el paso de corriente. Por lo que cuentas este parece ser tu caso, que tienes 6 salidas para las electroválvulas y una salida de relé donde conectas la bomba. Si la bomba la conectas directamente al Rain Bird y este no tiene el relé pensado para una bomba de tanta potencia, se acabara quemando el relé, que creo que es lo que ha pasado. Ten en cuenta que me estoy aventurando mucho por que sin fotos del Rain Bird ni del conecxionado, imagino lo que esta pasando. Si ha pasado esto, esta claro que el relé o lo que alimenta al relé se ha estropeado. Para arreglarlo deberías desoldar el relé y probarlo o con un multímetro poner las puntas en el solenoide del relé y activar el riego, si llegan 12V al solenoide del relé y el relé no abre pueden ser dos cosas, o que el solenoide esta abierto o que el interruptor del relé se ha quedado pegado debido a un calentón fuerte que al pararlo se ha soldado y ya no abre. Para arreglarlo, si es de los relés que se pueden abrir puedes volver a ponerlo bien, luego limas un poco la parte pegada para que asiente bien y listos, si no cambias el relé.
Si no llega señal al solenoide del relé, el problema es más interno, seguramente de un triac o mosfet que alimenta al relé y esta gobernado por un procesador.
Y contenstando a tu pregunta, si el relé lo puedo sustituir por un contactor, teóricamente si, pero tiene un problema, el contactor debería ser del voltaje que alimenta el relé, y además la resistencia del solenoide del contactor debería ser igual o mayor a la del relé sustituido por que si es inferior, y es lo más probable, dejara más paso de corriente y acabara quemando el triac o mosfet que alimenta al solenoide del relé sustituido por un contactor. Si el relé se ha estropeado, lo mejor es sustituirlo por otro igual y poner un coctactor para evitar que el relé trabaje tanto y así evitar futuras averías como la que ya te ha pasado.