¿Una función lineal f(x)=x tiene máximos o mínimos?
necesito sacarme la duda de si una función lineal sea f(x)=x tiene máximo o mínimo ya sea en todo su dominio o en un intervalo [a, b]. Tengo entendido que según el teorema de los valores extremos:
"Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo."
En este caso la función f(x)=x es continua en dicho intervalo por ende tendría que tener un máximo o mínimo, pero si me baso en la derivada de la función, obtengo que f'(x)=1 por lo cual no puedo igualar a cero para obtener las raíces y así saber los puntos donde están los máximos o mínimos. Por ende deduzco que no tiene máximo o mínimo, aunque gráficamente el máximo en el intervalo [a, b] seria b y el mínimo a, ¿O esto esta mal?
4 Respuestas
;)
Hola Fabián!
Primero hay que distinguir entre máximos y mínimos relativos (f'(x)=0) y máximos y mínimos absolutos.
La función f(x)=x tiene pendiente 1, luego es creciente desde (-infinit,+infinit): no tiene ni máximo ni mínimos absolutos.
Tampoco relativos ya que f'=1 distinto de 0 para todo x.
Si la función la definimos en un intervalo [a,b] tendrá el mínimo absoluto, mínimo valor en a, y maximo en b
hola, muchas gracias por tu respuesta, me sirve de mucho, ahora tengo una duda, con la derivada de la función que tipo de máximo y mínimo estoy hallando? según lo que leí se halla el máximo o mínimo relativo, pero suponiendo una función f(x)=x^2 la derivada es f'(x)=2x por lo cual tiene un mínimo en x=0 ya que 2x=0 --> x=0 pero este caso el mínimo seria absoluto y no relativo por que es el único mínimo en todo el dominio de la función.
;)
En este caso es mínimo relativo y también absoluto, (pueden coincidir).
;)
Completamente de acuerdo con el resto de compañeros. Son dos cosas distintas
Hacer derivada y buscar los ceros de la ecuación es buscar máximos, mínimos absolutos o puntos de inflexión para todo el dominio de la función.
El teorema que te han explicada dice que en un intervalo [a, b], habrá un valor máximo y un valor mínimo, pero no estan diciendo que estos valores sean los máximos o mínimos absolutos
Bien... se me hace que el profesor cuando les explico el tema lo hizo muy rapidamente, "confiando en que lo acepten sin preguntar". Pero vamos a que ese Teorema, no es de una validez total y absoluta en cualquier condicion, porque existen casos que llevan a otros resultados que serian los "Maximos relativos", donde una funcion tiene un maximo dentro de un intervalo... pero si sales de ese intervalo tiene valores muchisimo mas altos. O el caso de Senx o Cosx, donde segun sea el intervalo podras tener maximos y minimos muy dispares, que seria el caso de "Maximos de Frontera":... o incluso "numerosos maximos y numerosos minimos (supon que te piden el maximo y minimo de 5senx calculado entre pi y 10pi...)
El caso planteado, que seria una recta con pendiente de 45 grados, tiene precisamente "Maximos y minimos de FRONTERA", que serian en tu caso coincidentes con los limites del dominio... aunque solo para este caso particular: Supon que la funcion fuese 2 + 7 x, la derivada seria 7... pero el maximo y minimo jamas coincidirian con los "Limites del Dominio".
Asi que como ves, ese Teorema es de uso muy limitado, y se cumple dentro de determinadas restricciones.
Te dejo un enlace a un sitio donde te explica esos casos limites con graficos y bastante claridad:
http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/Extremos_fun.htm
Supongo que es "Matematicas de Nivel Secundario" no "Nivel Ingenieria o Licenciatura", porque si no el profesor deberia haber seguido con los Teoremas de Bolzano y de Weierrstrass donde se amplia el concepto y se llega a conclusiones mas claras... pero seguro: es muchisimo mas complejo.
La funcion lineal y(x) = mx + b segun el analisis no tiene maximos ni minimos. Es una recta de pendiente m...... Con m =0........seria y= b= Cte. y entonces cualquier punto del dominio puede considerarse o maximo o minimo.
Si cierras el intervalo, seguramente tendrás un valor máximo y uno mínimo que son los extremos del intervalo, pero la funcion en si no los tiene.