Calcular masa de una región limitada...
Si me pueden ayudar con el planteamiento de este ejercicio.
La región S está limitada por: el cilindro x^2+y^2=9, y los planos z=-3 y z=8-0.5y
Calcular la masa de S, si la densidad en cada punto es proporcional al 20% del cuadrado de la distancia al origen.
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Respuesta de Lucas m
2
;)
Hola Edwin!
El sólido es:
La proyección en la base es una círculo, y el techo es una elipse.
La masa se calcula con la integral triple :
$$\begin{align}&m(V)=\iiint_V \rho (x,y,z) \,dz\,dy\,dx =\\&\\&en \ cartesianas:\\&\\&\int_{x=-3}^{x=3} \int_{y=- \sqrt{9-x^2}}^{y=\sqrt{9-x^2}}\ \int_{z=-3}^{z=8-0,5y} \rho (x,y,z) \,dz\,dy\,dx=\\&\\&\int_{x=-3}^{x=3} \int_{y=- \sqrt{9-x^2}}^{y=\sqrt{9-x^2}}\ \int_{z=-3}^{z=8-0,5y} 0,20 (x^2+y^2+z^2) \,dz\,dy\,dx=\\&\\&\text{cambio de variables a cilindricas}\\&Jacobiano=r\\&\\&0.20\int_0^{2 \pi} \int_{r=0}^{r=3} \int_{z=-3}^{z=8-0,5r \sin \theta} \Big(r^2+z^2\Big)r\ dz\ dr \ d \theta\\&\\&\\&\\&\end{align}$$
