¿Alguien me podría resolver este ejercicio de matemáticas de selectividad (matrices)?

;)
Hola Axel!
Eso se puede hacer de dos maneras,

Escalonando (Gauss)

O con determinantes.

Yo muchas veces mezclo los dos, depende de la matriz.

Observa que esa matriz es 3x4, luego el rango será como máximo 3.

Rang M (mxn) es menor o igual que el menor de los números m o n. Recuerda que el rango representa el número de filas linealmente independientes, y que el número de filas y columnas linealmente independientes coinciden

Voy a empezar escalonando, así tendré más ceros y el determinante será más rápido de calcular

Sumo a la fila 3, la fila 1

(1     0     4     2)

(0     a     4     0)

(0     3   a+4   0)

El rango como mínimo será 2, ya que ha un menor de orden 2 diferente de cero (a ojimetro, la esquina de la derecha)

|4     2|

|4     0|

=-8

Luego el rango será  o 2  o 3

Estudiemos el determinante de orden 3 que contiene las a:

|0    4      2|

|a     4     0|

|3   a+4  0|

= 2a(a+4)-24=2a^2+8a-24

Veamos cuando se anula   2a^2+8a-24=0  ==> a=2  y   a=-6

¿Cómo se discute esto?

caso1)

Si a distinto de 2 y distinto de -6, el anterior determinante será diferente de 0, luego el rango será 3

caso2)

Si a =2

la matriz queda

(1     0     4    2)

(0     2     4    0)

(0     3     6    0)

por Gauss, la escalono   2F_3 - 3F_2

(1     0     4     2)

(0     2     4     0)

(0      0     0    0)

Luego el rango es 2

caso3)

Si a =-6

(1     0     4     2)

(0    -6     4     0)

(0     3    -2      0)

Observa que la Fil2 es el doble de la Fil3 cambiada de signo, luego rango 2

Saludos

||*||

;)