A ver...
El almacenamiento "en la nube", esta en algun servidor de la empresa que te da el servicio... puede ser Google (por lo mas conocido) o miles de sitios mas. Lo tienen hasta en multiples lugares almacenados, y no corre el riesgo de perderse nunca. Tiene a su vez la ventaja/desventaja, que teniendo la contraseña, lo puedes ver desde cualquier computadora o smartphone. Ventaja... porque puedes verlo tu en cualquier sitio. Desventaja, porque te lo pueden hackear (dificil, pero no imposible), y "ver lo que subiste". Que nadie me diga "imposible", porque tenemos unos cuantos casos de escandalos con el robo de informacion de Yahoo y de Facebook entre los mas notorios. Una desventaja, es que para acceder, necesitas tener siempre una buena conexion a internet, y te gastara muchos datos actualizando o bajando datos todos los dias. Y si se corto internet... se quedaran todos sentados mirandose unos a otros, porque no tendras acceso a tus datos.
El almacenamiento en tu propio sistema, se hara en un HDD, probablemente del tipo "estado solido", o en memorias de algun tipo (pendrive).
Ventaja de esto: Lo puedes aislar de internet, y nadie te podra "robar los datos". Lo tienes siempre a mano en tu sistema, aunque se caiga internet, y no consumes una enorme cantidad de Gb de datos para cargar y descargar las cosas permanentemente.
Desventaja: Si tu disco de almacenamiento es UNICO, se rompio... y perdiste todo. En esos casos se debe hacer el almacenamiento en "Discos multiples": O sea tener "copia de la copia", para que, en caso de rotura de la memoria, no perder todo.