Como se resuelve este ejercicio :Si : x=(2^n) * 3 , y=(2^3) * (3^m),donde ...

¿Seguro qué n y m son enteros? ¿No son naturales? Te lo pregunto porque yo haría esto:

Para que y sea divisible entre 2x,

$$\begin{align}&\frac {y}{2x}\end{align}$$

tiene que ser un número entero. Desarrollando:

$$\begin{align}&\frac {y}{2x} = \frac {2^{3}.3^m}{2.(2^{n}.3)} = \frac {2^{3}.3^m}{2^{n +1}.3} = 2 ^{3-(n+1)}. 3^{m-1} = 2^{2-n}. 3^{m-1}\end{align}$$

Así,

$$\begin{align}&2^{2-n}. 3^{m-1}\end{align}$$

tiene que ser un número entero. Por tanto:

$$\begin{align}&2-n \geqslant 0 \Rightarrow n \leqslant 2 \end{align}$$

$$\begin{align}&m-1 \geqslant 0 \Rightarrow m \geqslant 1\end{align}$$

El valor mínimo de m+n para que se cumplan estas condiciones no existe en los números enteros (n no tiene mínimo, se va a menos infinito). Pero en los número naturales sería 1 (el valor mínimo de n en los naturales es 0 y el de m es 1).

Me acabo de dar cuenta de que me falta una condición:

$$\begin{align}&2-n \geqslant 0 \Rightarrow n \leqslant 2 \land  n \geqslant 0\end{align}$$

Por lo que el valor mínimo de m+n sería 1