Tengo una duda con este problema de álgebra lineal
Tengo dudas con este problema de álgebra lineal no logro encontrar las constantes que piden y no logro entender como hacerlo
Respuesta de Karl Mat
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(a) sea F la matriz asociada a la función lineal f
$$F=\left[
\begin{matrix}
F_{11}&F_{12}&F_{13}&F_{14}\\
F_{21}&F_{22}&F_{23}&F_{24}\\
F_{31}&F_{32}&F_{33}&F_{34}\\
F_{41}&F_{42}&F_{43}&F_{44}
\end{matrix}
\right]$$Para hallar cada entrada hacemos lo siguiente
$$\begin{align}&f(1)=0=1\cdot F_{11}+(1+x)F_{21}+(1-x^2)F_{31}+x^3F_{41}\\&f(1+x)=x=1\cdot F_{12}+(1+x)F_{22}+(1-x^2)F_{32}+x^3F_{42}\\&f(1-x^2)=-2x^2-4k=1\cdot F_{13}+(1+x)F_{23}+(1-x^2)F_{33}+x^3F_{43}\\&f(x^3)=3x^3+12kx=1\cdot F_{14}+(1+x)F_{24}+(1-x^2)F_{34}+x^3F_{44}\\&\\&F_{i1}=0~,~\forall i=1,2,3,4\\&F_{12}=-1~,~F_{22}=1~,~F_{32}=0=F_{42}\\&F_{13}=-2-4k~,~F_{23}=0~,~F_{33}=2~,~F_{43}=0\\&F_{14}=-12k ~,~F_{24}=12k ~,~F_{34}=0 ~,~F_{44}=3\end{align}$$Si los cálculos están bien, la matriz asociada es
$$[f]_B=\left[
\begin{matrix}
0&-1&(-2-4k)&-12k\\
0&1&0&12k\\
0&0&2&0\\
0&0&0&3
\end{matrix}
\right]$$(b) Sea el polinomio
$$\begin{align}&p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\end{align}$$El que va a anular a f, entonces al reemplazar y calcular constantes deducimos que
$$\begin{align}&\ker(f)=\{c:c\in\mathbb{R}\}\end{align}$$Independientemente del valor de K, es decir que K no va a influir en la nulidad de f.
