Procedimiento para hallar sumatoria para la serie
Buen día_:
Por este medio pido su apoyo para conocer el procedimiento para determinar la suma de la serie
$$\begin{align}&\\&\\&1.\qquad \sum_{n=0}^{ \infty} {(-1){^{n}}\pi^{n} \over 3^{2n}(2n)!}\end{align}$$
1 Respuesta
Por las series que has puesto puedo ver que para este tipo que parecen complicadas hay que hacer uso de series conocidas(series de taylor o concretamente las de mclaurin).
Esta se parece mucho a la del coseno que es de la forma
$$\begin{align}&\cos x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\end{align}$$Viendo la que tenemos nosotros
$$\begin{align}&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n \pi^n}{3^{2n}(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n \sqrt{\pi}^{2n}}{3^{2n}(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n }{(2n)!}\bigg(\frac{\sqrt{\pi}}{3}\bigg)^{2n}=\cos \frac{\sqrt{\pi}}{3}\end{align}$$
Alejandro Salazar muchísimas gracias por tu apoyo, en cuyo caso fuera resolver mediante la serie de Taylor, cómo sería el procedimiento?
Me refiero es que debes de conocer las series de Taylor de las funciones más importantes, exponencial, logaritmos, trigonométricas. Y luego comparar las series que te dan con ellas para ver si se parecen
Principalmente si tienen factoriales. Las series no son fáciles de evaluar, menos sin conocimientos tan abundantes, donde las que puedes resolver estarán limitadas a las geométricas, telescópicas, las que están relacionados con las series de Taylor. Y poco más
