Quisiera saber el procedimiento de las asíntotas oblicuas por el concepto de limites además, la segunda derivada con procedimien
Sucede que la segunda derivada no me da, ¿la hago en diferentes aplicaciones y me da distinta a lo que me da me puedes ayudar por favor? Además, cuando voy a hallar la asíntota oblicua por medio de limite cuando x->infinito, me da que mx= x y -x pero en el momento de hallar b de la fórmula y=mx+b También con limites, le resto a la función f(x)-mx Me da infinito/infinito procedo a dividirla por x^2 Que es la x de mayor exponente y en el momento de evaluar me da 0/0 necesito ayuda. Muchas gracias!
Anexo función
$$\begin{align}&f(x)=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}} , \forall x\in (-\infty,1)\cup(1,+\infty)\\&\\&f'(x)=\dfrac{x(x^2-3)}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}\to \text{Puntos críticos: }x\in\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}\\&\\&f''(x)=\dfrac{3(x^2+1)}{(x^2-1)^2\sqrt{x^2-1}} , \forall x\in \text{Dom } f, f''>0\\&\\&\text{Esto quiere decir que la gráfica de $f$ se abre hacia arriba}\\&\\&\bullet \text{Hallemos la pendiente de la asíntota oblicua}\\&\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f'(x)=-1\\&\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=1\\&\\&\color{blue}{\text{Hasta aquí tenemos las pendientes de las dos asíntotas, ahora hallemos }}\\&\color{blue}{\text{la coordenada de intersección en Y}}\\&\\&b_1=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)-(-x)=0\to \boxed{L_1: y=-x}\\&\\&b_2=\lim\limits_{x\to\infty}f(x)-x=0\to \boxed{L_2: y=x}\end{align}$$Creo que es todo
Justifiquemos cómo resulta 0 para las ordenadas en el origen
$$\begin{align}&b_1=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}+x\\&\\&\color{blue}{\text{Antes de calcular este límite veamos lo siguiente}}\\&\\&\color{blue}{L=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{~~\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}~~}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2+1}{x\sqrt{x^2-1}}}\\&\\&\color{blue}{L=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2(1+1/x^2)}{x\sqrt{x^2-1}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x}\sqrt{x^2-1}}}\\&\\&\color{blue}{L=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{x^2}}{\text{sign}(x)\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}}}\\&\\&\color{blue}{L=-1}\\&\\&\color{blue}{\text{Esto quiere decir que $\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}$ y $-x$ son asintóticamente equivalentes}}\\&\\&\text{Por eso tenemos:}\\&\\&b_1=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}+x=\lim\limits_{x\to-\infty}(-x)+x=0\end{align}$$De forma análoga para b2
1 respuesta más de otro experto
La respuesta de Karl Mat es correcta (votada), esto es sólo para explicar de otra manera el razonamiento de las asíntotas oblicuas, que, al ser esta una recta, deberemos ver que:
lím (x->∞) f (y) = lím (x->∞) mx + b; (que esta última es la ecuación de la recta).
Lím (x->∞) (x^2+1) / √(x^2-1) = lím (x->∞) mx + b; divido ambos miembros por x, manteniendo la igualdad, con lo que logro despejar a m (pendiente de la recta):
Lím (x->∞) [x+(1/x)] / √(x^2-1) = lím (x->∞) m + (b/x); a la izquierda divido por x al numerador y denominador (manteniendo la igualdad):
Lím (x->∞) {[1+(1/x^2)] / √[1- (1/x^2)] = lím (x->∞) m + (b/x); tomo límites:
(1+0) / +-√(1-0) = m; (las raíces pares tienen ambos signos...)
m= 1; m= (-1).
Repito igual procedimiento pero conociendo m y sustituyendo con su valor; ahora debo tener en cuenta que si tomo el valor de m=(-1), la raíz de la izquierda también será negativa y por lo tanto, puedo directamente hacer todas las cuentas con m=1:
Lím (x->∞) (x^2+1) / √(x^2-1) = lím (x->∞) x + b; paso x a la izquierda:
b= Lím (x->∞) [(x^2+1) / √(x^2-1)] - x; opero:
b= Lím (x->∞) [(x^2+1) - x√(x^2-1)] / √(x^2-1); divido numerador y denominador por x:
b= Lím (x->∞) {[(x+(1/x)] - √(x^2-1)] / √{1-(1/x); tomo límite:
b = (x+0-x) / 1 = 0;
Tu recta oblicua vale: y= +-x