Solucionar la siguiente Ecuacion diferencial de primer orden empleando el método de Homogéneas (-4x+3y-7)dx-(x+1)dy=0
como podría Solucionar la siguiente Ecuación diferencial de primer orden empleando el método de Homogéneas (-4x+3y-7)dx-(x+1)dy=0
1 Respuesta
Respuesta de Alejandro Salazar
1
No es homogénea pero se puede reducir a ella
$$\begin{align}&(-4x+3y-7)dx-(x+1)dy=0\\&(-4x+3y-7)dx+(-x-1)dy=0\\&\\&x=u+ \alpha\\&y=v+ \beta \\&\alpha \ y \ \beta \text{ Son constantes desconocidas}\\&(-4(u+\alpha)+3(v+\beta)-7)dx+(-(u + \alpha)-1)dy=0\\&(-4u-4 \alpha+3v +3 \beta-7)dx+(-u-\alpha-1)dy=0\\&-4 \alpha+3 \beta-7=0\\&- \alpha-1=0\\&\alpha=-1\\&\beta=1\\&x=u-1\\&dx=du\\&y=v+1\\&dy=dv\\&\text{Sustituyendo en la ec diferencial}\\&(-4u+4+3v+3-7)du+(-u+1-1)dv=0\\&(-4u+3v)du+(-u)dv=0\\&\frac{dv}{du}=\frac{-4u+3v}{u}\\&\text{Ahora es homogenea, hacemos el vambio de variable, y simplificando la derecha}\\&v=wu\\&v'=w+uw'\\&w+uw'=\frac{-4+3w}{w}\\&uw'=\frac{-4+3w+w^2}{w}=\frac{(w+4)(w-1)}{w}\\&\\&\int \frac{w}{(w+4)(w-1)}dw=\int \frac{1}{u}du\\&\\&\frac{w}{(w+4)(w-1)}=\frac{A}{w+4}+\frac{B}{w+1}\\&w=-4\\&A=\frac{-4}{-5}\\&w=1\\&B=\frac{1}{5}\\&\int \frac{\frac{4}{5}}{w+4}+\frac{\frac{1}{5}}{w+1} dw=\ln u+C\\&\frac{4}{5} \ln w +\frac{1}{5}\ln w =\ln u+C\\&\ln w=\ln u+C\\&w=e^{\ln u +C}\\&w=Ku\\&\frac{v}{u}=Ku\\&Ku^2=v\\&K(x+1)^2=y-1\\&y=K(x+1)^2+1\end{align}$$
Me acabo de dar cuenta que cometí un error cuando pasé a homogéneas.
$$\begin{align}&\frac{dv}{du}=\frac{-4u+3v}{u}\\&\\&v=wu\\&v'=w+uw'\\&\\&w+uw'=\frac{-4u+3wu}{u}=-4+3w\\&uw'=-4+2w\\&\frac{1}{2} \int \frac{dw}{-2+w}=\int du\\&\frac{1}{2} \ln (-2+w)=u+C_1\\&-2+w=e^{2u+K}\\&-2+w=Ce^{2u}\\&w=2+Ce^{2u}\\&\frac{v}{u}=2+Ce^{2u}\\&v=u(2+Ce^{2u})\\&\\&y-1=(x+1)(2+Ce^{2(x+1)})\\&y=(x+1)(2+Ce^{2(x+1)})+1\end{align}$$
