Integral de log(sen(x)) de 0 a pi es igual al doble de la integral de log(sen(x)) de 0 a pi/2

Tengo un problema que pide calcular la integral impropia de log(cos(x)) de 0 a pi/2, para hacer esto primero hice lo siguiente, si x=2u

$$\begin{align}&\int_0^{\pi} log(cosx)dx=(\pi)log2+2\int_0^{\pi/2} log(cosu)du+2\int_0^{\pi/2} log(sinu)du\end{align}$$

Luego, para "resolver" la integral de log(sen(x)) se supone que debo hacer u=pi-x, de ese modo

$$\begin{align}&\int_0^{\pi/2} log(sinx)dx=\int_{\pi/2}^{\pi} log(sinu)du\end{align}$$

Sin embargo, se supone que debo llegar a que 

$$\begin{align}&\int_0^{\pi} log(sinx)dx=2\int_0^{\pi/2} log(sinx)dx\end{align}$$

Pero no veo cómo llegar a esa última igualdad, además, en la primera integral, ¿se supone que debo dejar la u en términos de x?