Calculo diferencial,Sólidos de revolución.

De lo que puedo leer entiendo:

Girar alrededor del eje x el sólido generado por y=4-x^2, limitado por las rectas y=2 e y=4.

Es una parábola invertida, con el vértice en (0; 4); y los límites de integración:

4-x^2 =2;   x=+-√2

Sugiero resolver con los siguientes pasos:

1) Dividir a la mitad verticalmente por el vértice (límites de integración: 0 a +√2) y multiplicar por 2 al finalizar todos los pasos

2) Calcular el sólido de revolución completo generado por esa hemi-parábola.

3) Restarle el volumen del cilindro que se genera al girar alrededor del eje x a y=2 de 0 a √2.

Hecho el paso 1) podemos usar directamente la fórmula del sólido de revolución, pero prefiero hacerlo en forma razonada, comenzar analizando una "feta diferencial" de ese sólido.

Volumen de un cilindro:  πr^2h.  Llevado a la "feta":  Volumen=dV; r=f(x);  h=dx

dV=π*f(x)^2*dx;  o:  dV=π* (4-x^2)^2*dx;   o:  dV=π* (16-8x^2+x^4) *dx; 

Queda esta ED de variables separadas, que podemos integrar entre los límites que nos interesa:

V=π * ∫ (de 0 a √2) (16-8x^2+x^4)*dx;  

Indefinida:  π * [16x - (8/3)x^3 + (1/5)x^5 + C]; 

Para x=√2:  π * [ 16√2 -(16/3)√2 + (4/5)√2];  o: π√2 * [ 16 -(16/3) + (4/5)] o:  (172/15)π√2. 

Para x=0;  0;  resto:

Volumen del giro COMPLETO de la parábola entre (0;  +√2) =  (172/15)π√2. 

Paso 3):  Cilindro al girar y=2 alrededor de x, entre (0;  +√2):

Vc=π*2^2*√2;  Vc=4π√2

Resto el cilindro al giro de la parábola: (172/15)π√2 - 4π√2 = (112/15)π√2

No olvidemos que los límites de integración reales eran desde (-√2) hasta +√2, por lo que multiplicamos por 2:

(224/15)π√2; que es aproximadamente: 995.20 unidades cúbicas.