Calcular la longitud del arco de la parábola y2 = 2x desde el origen hasta que el punto en que x =a

Supongo que te refieres a la longitud de la curva.

Para ello debes plantear y = f(x) y luego hacer

$$\begin{align}&L=\int_a^b \sqrt{1+(f´(x))^2}dx\\&\text{En tu caso}\\&f(x) = \sqrt{2x}\\&f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{2x}}\\&L=\int_0^a \sqrt{1+(-\frac{1}{\sqrt{2x}})^2}dx\end{align}$$

Te dejo un link a la definición

Salu2